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Margit (Mandarine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. September, 2001 - 15:19: | 
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Gegeben ist ein Quadrat mit der Seite a. Verlängere(verkürze)seine Seiten im gleichen Sinne um dieselbe strecke s und verbinde die neuen Endpunkte miteinander. Beweise, dass wieder ein Quadrat entsteht und berechne seine Seite und seine fläche. |
Akka
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 11:39: |
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Wenn Du die zwei ineinanderliegenden Quadrate zeichnest, wirst Du feststellen, dass an den Ecken vier zueinander kongruente Dreiecke liegen.
Beweis der Kongruenz: Die Dreiecke stimmen im jeweiligen "Quadrateckwinkel"=90° und den beiden anliegenden Seiten überein. Beides sind Konstruktionsbedingungen: 1."Quadrat" 2."im gleichen Sinn um dieselbe Strecke".
Wenn die 4 Dreiecke kongruent sind, stimmen sie auch in der dritten Seite (Hypotenuse des Dreiecks und Seite des Quadrats) überein.
Beweis des 90°-Winkels: Die Winkel eines Dreiecks ergänzen sich zu 180°, ebenso die Winkel an einer Geraden. Zwei der drei Winkel am neuen Eckpunkt sind jeweils die beiden spitzen Winkel der Dreiecke. Also muß der dritte Winkel so groß sein wie der 90°-Winkel der Dreiecke!
Die Berechnung ist mit Hilfe des guten alten Pythagoras ganz einfach: Sei q die Seite des neuen Quadrats, dann ist q²=s²+(a-s)²=2s²+a²-2as
Für die Berechnung der Seite ziehst Du die Wurzel, für die Fläche läßt Du alles, wie es ist!
Das war die Lösung fürs Verkürzen, das Verlängern geht genauso:
Die 4 neu entstandenen Dreiecke sind kongruent: Die eine Seite ist jeweils s, die andere (a+s), der 90°-Winkel der Dreiecke entsteht durch die Verlängerung der Quadratseite (Betonung auf Quadrat!).
Die Ecken des neuen Quadrats setzen sich jeweils zusammen aus den beiden spitzen Winkeln der Dreiecke, da das Dreieck aber ein rechtwinkliges ist, ergänzen sich die spitzen Winkel zu 90°.
q²=s²+(a+s)²=2s²+a²+2as
Das war´s dann
Gruß Akka |
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