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Martin (Paul111)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. September, 2001 - 17:36: | 
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Hallo,
ich soll in Aufsatzform darlegen, wie man den Wert von Pi annäherungsweise bestimmen kann. (Bin ich hier richtig bei "Algebra?").
Ich weiss, dass ich den Einheitskreis mit dem Radius 1 benutzen muss, und weiss auch, dass man ein Quadrat in den Kreis einzeichnet, mit der Diagonalen 2r (des Kreises), nach Pythagoras die Seitenlänge des Quadrates a=Wurzel 2 ermittelt (durch: 2^2 = a^2 + b^2, und a=b, also 4 = 2 a^2 und damit a = Wurzel 2 ermittelt, und so auf Pi = (ungefähr) 2 kommt (weil Fläche des Kreises = Pi * r^2, also Pi = Fläche des Kreises / r^2, und demnach Pi = Fläche des Quadrates / r^2 = 2).
Als nächste Schritt verdoppele ich die Ecken des eingeschriebenen Quadrates (zum Achteck) und rechne auf die selbe Weise eine Annäherung an Pi....aber wie?????
1. durch die Addition der 4 zusätzlichen Dreiecke zu der Fläche des Quadrates? (wie?)
2. Durch die Berechnung der Fläche des Achtecks mit der Seitenlänge a = b = 1 und Winkel Gamma = 360 / 8 = 45 Grad? (hatte noch keine Trigonometrie, also bitte kein sinuskram)
3. Noch ne bessere Idee?
Danke im Vorraus
Martin |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. September, 2001 - 20:59: |
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Hallo Martin,
es gibt zig Verfahren um pi zu approximieren.
Eine sehr gute Facharbeit über das Thema ist
http://magnet.atp.tuwien.ac.at/scholz/projects/fba/fba.html.
Gruß
Matroid |
Toby
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. September, 2001 - 21:18: |
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Man kommt sogar nur mit dem Pythagoras aus, wie du sehen wirst - und statt dem von dir verwendeten Flächeninhalt einfachshalber mit den Umfangsformeln..
Benutze zur näherungsweisen Berechnung von pi nicht den Flächeninhalt, sondern den Umfang des einbeschriebenen n-Ecks U=n*a ~ U_kreis=2*r*pi. Pi ist somit 2,828...(für n=4, das Viereck).
Die Seitenlänge des Vierecks wurde mit a bezeichnet. Die Seitenlänge des Achtecks mit a2. Die aufgestellten Formel gelten auch bei jeder weiteren Verdoppelung der Seitenanzahl.
Um a2 zu berechnen, kann man wieder den Pythagoras benutzen. Es ist a2 * a2 = ( a / 2 ) * ( a / 2 ) + ( r – x ) * ( r – x ). Wobei x die Strecke vom Mittelpunkt des Kreises bis zum Mittelpunkt einer Viereckseite ist.
Um x zu berechnen kann man ebenso den Pythagoras benutzen. Es ist x * x = r * r - ( a / 2 ) * ( a / 2 )
Bei r = 1 wird a / 2 = 0,707106781187 und ( a / 2 ) * ( a / 2 ) = 0,5. Demnach ist x * x = 0,5. x ist demnach sqr ( 0,5 ) = 0,707106781187. Daraus ergibt sich r – x = 0,292893218813.
Eingesetzt in die Formel für a2 * a2 = 0,5 + 0,292893218813 * 0,292893218813 = 0,585786437627. Daraus ergibt sich für a2 = 0,76536686473.
Dieser Wert muss nur noch mit 8 Multipliziert werden (da 8 Seiten)und durch 2 geteilt werden (wegen U_8eck=8*a = U_kreis =2*r*pi), um die Zahl Pi Näherungsweise zu ermitteln. Zusammengefaßt also mit 4 multipliziert werden. Es ergibt sich für die Zahl Pi der Wert von 3,06146745892. Dies ist ein Fehler von – 2,55 %.
Wenn man die Anzahl der Ecken nochmals verdoppelt, erhält man für Pi = 3,12144515226. Der Fehler wird demnach mit jeder Verdoppelung der Seitenanzahl erheblich kleiner.
Zur Berechnung der Seitenlänge eines doppelt so viel Seiten umfassenden Vielecks, können die Formel benutzt werden, welche benutzt wurden, für die Berechnung der Seitenlänge eines Achtecks, unter Zuhilfenahme der vorher berechneten Seitenlängenwerte eines Vierecks.. Es muss für a lediglich, der jeweils vorher berechnete Wert a2 eingesetzt werden. |
Martin (Paul111)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. September, 2001 - 23:48: |
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Danke euch allen!
Martin |
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