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Julia
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 15:17: | 
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Ok, das ist die Extremwertaufgabe um die es geht...
In einem Kreiskegel mit dem Grundkreisradius R und der Höhre H soll ein Zylinder mit grösstmöglichem Volumen einbeschrieben werden"
Wie soll das gehen?
Ich bin im www fündig geworden auf
http://www.gym-oberasbach.de/html/matheprojekt11c/maxi.html
aber das ist ja wohl die unübersichtlichste Lösung die ich je gesehen habe! Was hat der denn da gemacht? Vielleicht kann mir einer den oben gewählten Lösungsweg erklären oder einen besseren und übersichtlicheren hier posten?
Bitte helft mir, mein Lehrer reisst mir den Kopf ab wenn ich das morgen nicht in sein Fach lege!!
Danke
Julia |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 16:45: |
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Radius des Zylinders: r element[0 ; R]
für die Höhe x des Zylinders gilt nach dem Strahlensatz: H/R=x/(R-r)
also: x=H(1-r/R)
das Volumen des Zylinders in Abhängigkeit von r ist: V=r2*p*H(1-r/R)
=r2*p*H-r3*p*H/R
die erste Ableitung davon ist:
2r*p*H-3r2*p*H/R
ein extremum wird erreicht wenn f'(r)=0 ist, also
2r*p*H-3r2*p*H/R=0
->r ungleich 0 -> 2*p*H-3r*p*H/R=0
-> r=2/3*R -> x=1/3*H
vielleicht gefällt es Dir ja so besser?
P.S. allerdings fält mir gerade auf, daß man vor der elften Klasse eigentlich noch keine Ableitungen bildet, ich sollte mir Deinen Link doch mal anschauen.... |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 16:56: |
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also ich habe mal reingeschaut und gesehen, daß auch dort abgeleitet wurde, mir ist nur schleierhaft, wie x 1,5 mal so groß werden kann wie H, der Zylinder wäre dann ja höher als der Kegel! und zusatzlich wundert mich das x. das ist hier die Strecke vom höchsten Punkt des Zylinders bis zur Spitze des Kegels also noch nicht mal ein
Mass der Zylinders selbst! kann es sein dass dort nicht ein Zylinder ein- sonderen ein Kegel umbeschrieben wurde? ich schau jetzt doch noch mal genau rein |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 17:06: |
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also dort ist einiges falsch.
volumen zylinder ist r2*(H-x) und nicht x, wahrscheinlich Strahlensatz falsch angesetzt
Vkegel hat hier überhaupt nichts zu suchen, usw. |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 17:13: |
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späte Einsicht , x ist doch die Höhe des Zylinders
aber die Volumenformel ist falsch |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 17:36: |
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Noch ein Nachtrag: das Volumen ist quadratisch abhängig vom radius r und linear von der höhe x
wenn r R ist, ist x null und wenn x H ist ist r null. Ohne Einschränkung der allgemeinheit kann man R=H=1 setzen. Dann gilt:
r+x=1 -> r=1-x
f=r2*x=r2(1-r)=r2-r2
f'=2r-3r2
f'=0 -> r=2/3 ; x=1/3 mit diesem Verhältnis hat man bei einer Formel, die r2*x enthält ein Maximum |
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