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Niels
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 17:24: | 
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Hallo,
kleine Frage an diese elustre Festgemeinde:
Hat jemand zufällig ein Beweis für die Länge der Winkelhalbierende im Dreieck?
Wa=1/b+c*Ö(bc((b+c)²-a²))=2bc*cos(a/2)/ b+c
Danke im Voraus
Gruß N. |
Joerg2000 (Joerg2000)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. August, 2001 - 09:49: |
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Hallo Niels,
kann man diesen Beweis nicht mit Hilfe des Kosinussatzes beweisen (?). Die Winkelhalbierende zeichnest Du am besten in das Dreieck ein, und so kannst Du das Dreieck ABC in zwei kleine Dreiecke zerlegen. Für diese beiden Dreiecke dann jeweils den Kosinussatz anwenden, und dann die beiden Gleichungen addieren und zusammenfassen.
Gruß
Jörg |
niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. August, 2001 - 10:12: |
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Das hatte ich auch gedacht,
nur bei den termumformungen hatte ich nacher probleme diese Form zu erreichen. Außerdem bekomme ich durch den cosinussatz immer trigonometrische funktionen in die Formel die ich nicht so schnell wegbekommen kann. der Ansatz ist gut, aber dann die zwischenschritte sind das Problem. sei mal ein kleinwenig konkreter.
Gruß N. |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. August, 2001 - 10:55: |
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Hallo Joerg,
das waren meine überlegungen dazu. man müßte nur für x, y, cos(ß) und cos(c) einsetzen und umformen, und darin liegt mein Problem!
Gruß N. |
Joerg2000 (Joerg2000)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. August, 2001 - 11:17: |
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Ich habe das ganze anders angefangen, ich habe nur mit dem Winkel ALPHA gearbeitet:
x=w²+c²-2wc*cos ALPHA und y=w²+b²-2bw*cos ALPHA.
Versuche mal diese beiden zu addieren !!! Dann erhälst Du ja: (x+y=a) ==> a=....
Leider bin ich momentan nicht zu Hause, sonst würde ich Dir die Lösung anders darstellen können.
Gruß
Jörg |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. August, 2001 - 18:44: |
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Hallo joerg,
deine beiden Gleichungen sind aber Inkorrekt!!!
es müßte dann:
x²=b²+w²-2bw*cos(alfa/2)
y²=c²+w²-2cw*cos(alfa/2)
und x²+y² ist NICHT a² !!
Auserdem müßte man bdan irgentwie w isolieren...
eine nicht ganz einfache Aufgabe!
Gruß N. |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. August, 2001 - 19:52: |
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Hallo Niels, siehe auf
Klassen 8-10: Geometrie:
Dreiecke: Sonstiges: Berechnen! |
N.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. August, 2001 - 09:32: |
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Hi Lemma5,
Danke für den link!
Die restlichen Umformungen habe ich selber noch hinbekommen.
Nun fehlt noch die Lösung für die 2. Formel...
währe für weitere Hilfe dankbar
lg N. |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. August, 2001 - 13:18: |
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Na herrschaften,
kann keiner einen vorschlag machen um die formel mit dem cos(Alfa/2) zu beweisen?
ein möglicher Ansat wäre doch:
x²=b²+w²-2bw*cos(alfa/2)
oder etwa nicht?
Also erbitte Äußerungen...
Gruß N. |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. August, 2001 - 00:00: |
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Hallo Niels, sieht man sich die alleroberste Zeile an:
Wa = Ö(bc[(b+c)²-a²]) / (b+c) = 2bc*cos(a/2)/ (b+c)
sieht man, dass lediglich noch zu Zeigen ist:
Ö(bc[(b+c)²-a²]) = 2bc*cos(a/2)
Kosinussatz:
b²+c²-a² = 2bc cosa |+2bc
(b+c)² - a² = 4bc(½+½cosa)
Additionstheorem: ½+½cosa = cos²(a/2)
(b+c)² - a² = 4bc cos²(a/2) |*bc
bc*[(b+c)² - a²] = 4b²c²cos²(a/2) |Ö(..)
=> Ö(bc[(b+c)²-a²]) = 2bc*cos(a/2)
qed
Wie ich dich kenne, bist du inzwischen selbst drauf gekommen... |
Niels
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. August, 2001 - 09:43: |
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Hallo Lemma5,
Ist ja höchst interressant!
Auf die Idee mit den halben Winkelmaß wäre ich nicht gekommen!!
Danke vielmals!
Jetzt ist meine kleine Dreick-Formelsammlung kommplett!
viele Grüße
Niels |
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