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Claudia Barkowsky
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2000 - 18:25: | 
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Also leute ich hab echt ein problem ich muss morgen ne HA abgeben die ich echt nicht kapiere!
Folgene Aufgabe:Über den SEiten eines Rechtecks mit halben umpfang s sind nach aussen Quadrate zu Zeichnen.Die entstehende Gesamtfigur soll einen möglichst grossen Flächeninhalt `haben.Wie muss man dazu die Seiten längen des REchtecks in Abhängikeit von s wählen?Wie gross ist dann der maximale Flächeninhalt der Gesamtfigur?
Ich würde mich riesig freuen wenn mir irgendjemand den ganzen rechenweg aufschreiebn würde damit ich das auch verstehe!
Danke eure Claudi! |
Bodo
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Januar, 2000 - 19:41: |
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Wähle als Rechteck ein Quadrat, das maximiert sowohl die Rechteckfläche als auch die Gesamtfläche. Das kann man normalerweise mithilfe der Differentialrechnung in der Oberstufe machen (Extremwertaufgaben).
Bist Du Mittelstufe?? Was habt ihr gerade als Thema?
Bodo |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Januar, 2000 - 20:17: |
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Es geht auch ohne Differenzialrechnung (jetzt mit "z"!), und der Pool ist auch nicht quadratisch.
Seien a und b die Seitenlängen des Pools. Dann ist nach Voraussetzung
a + b = s.
Die Gesamtfläche ist
F = ab + 2a² + 2b².
(ab für den Pool und vier Quadrate mit den Inhalten a² bzw. b².)
Da b = s - a, folgt
F(a) = a(s-a) + 2a² + 2(s-a)² = ... = 3a² - sa + 2s².
s ist eine Konstante und a ist variabel. Wenn du (für festes s!) ein Schaubild zeichnest, die waagerechte Achse ist dabei die "a-Achse" und die senkrechte Achse dier "F-Achse", erhältst du eine gestreckte, nach oben (!) geöffnete Parabel. Beachte nun
0 <= a <= s.
Das Maximum wird also für a = 0 oder für a = s angenommen. Einsetzen:
F(0) = 2s²,
F(s) = 2s².
Die Fläche ist also dann am größten, wenn der Pool die Ausmaße a = s, b = 0 oder a = 0, b = s hat.
Ein Sch...-Pool! |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Januar, 2000 - 20:21: |
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Das Rechteck ist ja gar kein Pool! Hatte ich mit einer anderen Aufgabe verwechselt! Ersetze also oben "Pool" durch "Rechteck"! |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Januar, 2000 - 23:25: |
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Ob Pool oder Rechteck,Deine Herleitung hat einen kleinen Fehler.Die Flächenfunktion von a lautet
F(a)=3a2-3as+2s2 (Die letzte Klammer ergibt ja 2(s2-2as+a2))
In Scheitelpunktsform gebracht ist das
3(a-s/2)2+5/4 s2
und daran kann man auch in der Mittelstufe erkennen,daß bei a=s/2 die Fläche am kleinsten ist,also an den Rändern a=s oder b=s am größten wird. |
mein senf
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Januar, 2000 - 18:36: |
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die gesamtfigur sieht aus wie ein quadrat mit ausgesägter ecke.
die seitenlänge der gesamtfigur ist a+b=s, also konstant.
die fläche des ausgesägten rechtecks ist a*b, genau wie die des ersten rechtecks, an dem die zwei quadrate kleben.
das ausgesägte rechteck soll sehr klein sein, damit von der gesamtfläche noch viel übrigbleibt.
ein rechteck ist am kleinsten, wenn eine seite null ist.
also a=0 und b=s oder a=s und b=0
die fläche ist dann s quadrat. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Januar, 2000 - 11:54: |
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mein senf, nach Aufgabenstellung sollen über ALLEN Rechteckseiten Quadrate gezeichnet werden, womit die Figur aussieht, wie ein großes Rechteck, bei dem VIER Ecken mit Fläche a*b ausgesägt sind. Das große Rechteck hat die Fläche (a+2b)*(b+2a) und ist somit nicht konstant. Wenn die Aufgabe so gemeint ist, wie du sie verstanden hast, dann hast du allerdings Recht. |
mein senf
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Januar, 2000 - 21:27: |
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zaph hat ja so recht. richtig muß es so gehen:
F(a) = 2 a quadrat + 2 b quadrat + a*b
= 2 a quadrat + 2 (s-a) quadrat + a*(s-a)
= 2 a*a + 2 (s-a)*(s-a) + a*(s-a)
= 2 a*a + 2 (s*s - 2 s*a + a*a) + a*(s-a)
= 2 a*a + 2 s*s - 4 s*a + 2 a*a + a*s - a*a
= 3 a *a + 2 s*s - 3 s*a
= 3 a*(a - s) + 2 s*s
2 s*s bleibt konstant. Diesen Teil können wir also vergessen.
Es bleibt
3 a*(a - s)
Ich untersuche drei Fälle:
eins: a=0
zwei: a liegt zwischen 0 und s
drei: a=s
zu fall eins: 3 (0*(0-s)) = 0
zu fall zwei: 3 ( a * (a-s) ) = x
a ist positiv
a-s ist negativ, da s > a
x ist negativ, denn (-) mal (+) gibt bekanntlich (-).
Die größte Fläche erhalten wir bei fall eins und drei.
Bei fall zwei wird die fläche s*s sogar noch verringert. |
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