| Autor |
Beitrag |
    
Jule (Jule)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 19:39: | 
|
Hallo!
Ich habe da folgende Beweis-Aufgabe:
n sei eine beliebige natürliche ungerade Zahl. Es gilt folgende Gleichung: n³+3n²-n-3 = eine durch 48 teilbare Zahl. Beweise.
Mein Ansatz:
Eine beliebige ungerade natürliche Zahl stellt man ja mit 2n+1 dar. Also lautet es: (2n+1)³+3(2n+1)²-(2n-1)-3 = 48x. Aber beim Ausmultiplizieren komm ich einfach nicht auf die richtige Lösung, im Gegenteil.
Wer kann mir helfen? Ist vielleicht schon mein Ansatz falsch?
Danke schon im Voraus!
Gruß Jule |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 22:32: |
|
Skizze
Induktion 1:
Sei n=1. Dann ist n³+3n²-n-3=0 und damit durch 48 teilbar.
(n+2)³+3(n+2)²-(n+2)-3
= n³ +6n²+12n+8 + 3n²+12n+12 -n - 2 -3
= n³ +3n² -n -3 + 6n² + 12n + 8 + 12n + 12 -2
. -------------
. durch 48 teilbar
. nach Ind.Voraus.
Nun betrachte nur:
6n² + 12n + 8 + 12n + 12 -2
= 6n² + 24n + 18
= 6 * (n² + 4n + 3)
Zeige: für ungerade n ist (n² + 4n + 3) durch 8 teilbar.
Induktion 2: n=1 => (n² + 4n + 3) = 8 => stimmt
(n+2)² + 4(n+2) + 3
= n² + 4n + 4 + 4n + 8 + 3
= n² + 4n + 3 + 4 + 4n + 8
. -----------
. durch 8 teilbar
. nach Ind.Voraus.
Betrachte
4 + 4n + 8
= 4n + 12
und das ist fuer ungerade n durch 8 teilbar.
Gruß
Matroid |
superknowa
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. August, 2001 - 02:44: |
|
oder:
n2+4n+3=(n+3)*(n+1)
für ungerades n existiert k mit n=2k+1:
n2+4n+3=(2k+1+3)*(2k+1+1)=(2k+4)*(2k+2)=2*(k+2)*2*(k+1)=4*(k+2)*(k+1)
entweder ist k+2 gerade oder k+1, dewegen ist (k+2)*(k+1) gerade,also durch 2 teilbar; damit ist
n2+4n+3=4*(k+2)*(k+1) durch 8 teilbar
superknowa |
superknowa
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. August, 2001 - 02:56: |
|
oder:
an=n3+3n2-n-3=(n+3)*(n+1)*(n-1)
Mit n=2k+1 gilt
an = a2k+1 = a'k = (2k+4)*(2k+2)*2*k = 2*(k+2)*2*(k+1)*2*k = 8*k*(k+1)*(k+2)
Im Ausdruck
8*k*(k+1)*(k+2)
ist entweder k oder k+1 gerade und entweder k oder k+1 oder k+2 durch 3 teilbar.
Damit ist der gesamte Ausdruck durch 8*2*3=48 teilbar.
superknowa |
superknowa
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. August, 2001 - 13:40: |
|
Muss man eigentlich auch mit Induktion zeigen, dass
k*(k+1)*(k+2) durch 6 teilbar
ist, oder reicht da die Überlegung aus, dass jede zweite Zahl gerade, und jede dritte Zahl ungerade ist?
superknowa |
Robert
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 10:31: |
|
Hallo Matroid und Supernowa!
Eurer Beweis ist richtig, denke ich mal, aber mit eurer Induktion habt ihr doch nur bewiesen, dass die Gleichung für die 1 zutrifft und nicht für jede beliebige ungerade natürliche Zahl. Oder?
Gruß Robert |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 11:57: |
|
Hi Robert,
die 1 ist die Verankerung der Induktion.
Dann kommt der Induktionsschluß auf die nächste ungerade Zahl, nämlich n+2 |
superknowa
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. August, 2001 - 00:12: |
|
Bei meinem Beweis braucht man keine Induktion.
superknowa |
|
