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Roundup
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. August, 2001 - 22:50: | 
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Wie kann man die Behauptung beweisen:
Zu einer natürlichen Zahl m lässt sich immer eine nat. Zahl n finden, so dass gilt:
m³=7n-1 oder m³=7n oder m³=7n+1
?
Bis m=1290 habe ich die Behauptung überprüft, sie hat sich als wahr herausgestellt. |
ich
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. August, 2001 - 06:42: |
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Hallo, Roundup,
zu zeigen ist also, dass jede Kubikzahl bei Teilung durch 7 einen der Reste -1, 0, +1 ergibt.
Fuer 0..7 prueft man direkt, z.B.
3^3 = 27 = 28 - 1 ==> Teilungsrest -1
Danach schliesst man, dass
(7k+x)^3 und x^3 bei der Teilung den gleichen Rest ergeben.
(Man multipliziert (7k+3)^3 aus und sieht, dass ausser in x^3 in allen Summanden der Faktor 7 vorkommt. Diese tragen also zum Teilungsrest nichts bei.)
Damit ist die Behauptung bewiesen.
In der modulo-Schreibweise, also
a = b mod 7
fuer
a und b ergeben bei der Teilung durch 7 den gleichen Rest:
1^3 = 1 mod 7,
2^3 = 8 = 1 mod 7,
3^3 = 27 = -1 mod 7,
...
6^3 = 216 = -1 mod 7,
7^3 = 343 = 0 mod 7,
Auserdem ist
(7k+x)^3 = ... = x^3 mod 7
gruß
ich |
Roundup
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. August, 2001 - 14:40: |
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Wow! Danke! |
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