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Beitrag |
    
Anke
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juli, 2001 - 14:09: | 
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Von einer Parabel ist bekannt:
a) Die Parabel hat mit den Koordinatenachsen nur die Punkte P1 (-5/0), P2 (-1/0) und P3 (0/ 2,5) gemeinsam.
b) Die Parabel hat mit den Koordinatenachsen nur die Punkte P1 (2/0) und P2 (0/-8) gemeinsam.
c) Zwischen den Stellen 4 und 6 (und nur dort) verläuft die Parabel unterhalb der 1.Koordinatenachse. Die Gerade mit der Gleichung y= -2 berührt die Parabel.
Gib den Term der zugehörigen Funktion in der Scheitelpunktform und in der Form ax²+bx+c an.
Kann mir jemand helfen?
Danke schon mal!! |
renate
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juli, 2001 - 20:05: |
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Hallo Anke,
Zu a)
allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
gegeben: f(-5) = 25a - 5b + c = 0
f(-1) = a - b + c = 0
f(0) = c = 2,5
Zu lösen ist also das Gleichungssystem
25a - 5b + 2,5 = 0
a - b + 2,5 = 0
Wie man das macht, weißt Du (?), wenn nicht, melde Dich nochmal.
Lösung: a = 0,5 ; b = 3
Deine Parabelgleichung hat also die allgemeine Form
f(x) = 0,5x² + 3x + 2,5
Umformen führt auf die Scheitelpunktsform:
f(x) = 0,5(x² + 6x + 5)
= 0,5 (x² + 6x +9 - 4)
= 0,5 (x² + 6x +9) - 0,5*4
= 0,5 (x + 3)² - 2
Zu b)
allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
gegeben: f(2) = 4a + 2b + c = 0
f(0) = c = - 8
Wenn Du die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem einträgst, siehst Du: P1 muss der Scheitelpunkt sein, sonst würde es eine weitere Nullstelle geben. Daraus und aus der Symmetrie der Parabel kannst du folgern, dass
f(4) = - 8, also
16a + 4b - 8 = 0
Zu lösen ist das Gleichungssystem
4a + 2b - 8 = 0
16a + 4b - 8 = 0
Lösung: a = -2 ; b = 8
Allgemeine Form der Parabelgleichung:
f(x) = -2x² + 8x - 8
Scheitelpunktsform: f(x) = -2 (x - 2)²
Zu c)
x1 = 4 und x2 = 6 sind Nullstellen der Funktion, also
f(4) = 16a + 4b + c = 0
f(6) = 36a + 6b + c = 0
Der Scheitelpunkt hat die x-Koordinate 5 und die y-Koordinate -2 (weil die Gerade y = -2, die ja parallel zur x-Achse verläuft, die Parabel berührt). Also gilt:
f(5) = 25a + 5b + c = -2
Der Rest ist wieder Routine: 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten ...
Lösung: a = 2 ; b = -20 ; c = 48
Parabelgleichungen:
allgemein: f(x) = 2x² - 20x + 48
Scheitelpunktsform: f(x) = 2(x-5)² - 2
Gruß und viel Erfolg! |
renate
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juli, 2001 - 20:14: |
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Korrektur: Es muss natürlich "Funktionsgleichung" statt "Parabelgleichung" heißen! |
renate
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juli, 2001 - 20:48: |
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Noch eine WESENTLICHE Korrektur (ich bin offenbar zu blöd, mein Konzept korrekt abzutippen!- Pardon!):
Zu b)
f(4) = 16a + 4b - 8 = - 8
Das Gleichungssystem lautet:
4a + 2b - 8 = 0
16a + 4b - 8 = - 8
Ich hoffe, mir sind sonst keine Tippfehler unterlaufen ! |
Xell
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juli, 2001 - 22:29: |
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Hi,
Noch ein kleiner Hinweis: Bei a) kann man auch ansetzen mit
f(x) = a * (x+1) * (x+5)
und dann 2,5 = a * 1 * 5
=> a = 1/2 => f(x) = 1/2 * (x+1) * (x+5)
lg |
Anke
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juli, 2001 - 09:28: |
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Vielen Dank! |
Anke
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juli, 2001 - 10:20: |
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Der Graph einer quadratischen Funktion f geht durch den Punkt P (0/2).
F hat die Nullstellen
a) 3 und 7
b) –1 und 1
c) nur 4
Stelle die Funktionsgleichung auf.
Ich habe bei a) folgendes Gleichungssystem aufgestellt:
9a+3a+2=0
49a+7a+2=0
Aber entweder ist das falsch oder ich habe verkehrt aufgelöst, jedenfalls komme ich zu keiner Lösung. Könnt ihr mir noch mal helfen?
Danke schon mal! |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juli, 2001 - 12:30: |
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halte dich doch an die rechenregel von Xell.
sie ist die einzige vernuenftige, da du dann nur eine gleichung zu loesen brauchst, anstatt ganz vieler:
bekannt sind die nullstellen 3 und 7.
also nach der Xell'schen formel:
F(x)= a*(x-3)*(x-7)
(wichtig ist, dass du die nullstellen innerhalb des polynoms *abziehst*, denn wir brauchen ja F(3) = 0. Das ist fuer (x-3) erfuellt, fuer (x+3) aber nicht.)
jetzt fehlt noch die bedingung an den punkt:
2 = F(0) = a*(-3)*(-7)
woraus folgt a = 2/21.
Wenn du eine andere Form der Parabelgleichung brauchst, kannst du ja F(x) ausmultiplizieren.
Das ist allemal einfacher als ein Gleichungssystem fuer 3 unbekannte zu loesen.
mrsmith |
renate
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juli, 2001 - 23:17: |
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Hallo Anke,
Der Vorschlag von Xell ist in der Tat eleganter als das Aufstellen von Gleichungssystemen. Wenn Du es verstanden hast, lies gar nicht erst weiter.
Zu Deinem Lösungsversuch: Dein Gleichungssystem ist ok bis auf die (Tipp-?) Fehler 3a und 7a in der ersten und zweiten Zeile, wo es 3b und 7b heißen muss. Lösung:
9a + 3b + 2 = 0 | *7
49a + 7b + 2 = 0 | *3
- ( 63a + 21b + 14 = 0 )
147a + 21b + 6 = 0
---------------------------------
84a - 8 = 0
a = 2/21
Der Zeitaufwand für die Berechnung von b ( = - 20/21 ), um auf die allgemeine Form der Funktionsgleichung zu kommen, dürfte bei beiden Methoden der gleiche sein.
Spielen wir doch spasseshalber beide Ansätze beim Teil b) Deiner Aufgabe durch für den Fall, dass Du die Funktionsgleichung in der Form f(x) = ax² + bx + c angeben sollst:
1) Methode Xell:
f(x) = a*(x+1)*(x-1)
f(0) = 2 = a*1*(-1) = -a
a = - 2
f(x) =- 2*(x+1)*(x-1)
= -2*(x²-1)
= -2x² + 2
2) Methode Gleichungssystem:
f(0) = c = 2
f(-1) = a - b + 2 = 0
f(1) = a + b + 2 = 0
------------------------------
2a + 4 = 0
a = - 2 | einsetzen
-2 - b + 2 = 0
b = 0
f(x) = -2x² + 2
In diesem Fall ist der Vorteil der Xell'schen Methode nicht unbedingt ins Auge springend. Halt es doch einfach wie die Dachdecker und mach's so, wie es Dir am leichtesten fällt !
Gruß
P.S. Lösung von Teil c): (4/0) ist Scheitelpunkt, also
f(x) = a*(x-4)²
f(0) = 2 = 16a
a = 1/8
f(x) = 1/8*(x-4)²
= 1/8x² - x + 2 |
anke
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Juli, 2001 - 07:40: |
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Danke! |
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