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Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 17:24: | 
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Hallo! Ich finde irgendwie keinen Ansatz! Könnt ihr helfen? Bitte!!!!
Berechnen Sie die Längen der Höhen, der Seitenhalbierenden und der Winkelhalbierenden in einem Dreieck mit den Seitenlängen a= 4, b=5 und c=6!
Ich glaub, daß es nicht so schwer ist, aber ich steh im Moment völlig auf dem Schlauch!
Gruß Miriam |
Andra
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 07:40: |
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Hallo Miriam,
die Höhen auszurechnen ist recht einfach, Du mußt dabei nur den Pythagoras anwenden.
Zeichne das Dreieck. c = 6 ist die längste Seite und damit die Hypothenuse. Zeichne die Höhe ein, die senkrecht auf c steht. Sie heiße hc. hc teilt das Dreieck in 2 "Hilfsdreiecke" mit jeweils einem rechten Winkel. Außerdem teilt hc die Seite c in 2 Teile. Die einzelnen Längen dieser Teilstrecken sind nicht bekannt, aber addiert sind sie 6 cm lang. Dann sei das eine Teil a cm lang und das andere (6 - a) cm.
Wende jetzt den Pythagoras auf beide Hilfsdreiecke an:
52 = h2 + a2 und 42 = h2 + (6-a)2
Löse beide Gleichungen nach h2 auf:
h2 = 52 - a2 und h2 = 42 - (6-a)2
gleichsetzen:
25 - a2 = 16 - (6-a)2
25 - a2 = 16 - (36 - 12a + a2)
25 - a2 = 16 - 36 + 12a - a2
25 = -20 + 12a
12a = 45
a = 15/4
einsetzen:
h2 = 52 - a2 = 25 - 225/16 = (400 - 225)/16 = 175/16
hc = (5/4)*Wurzel(7)
Auf diese Weise lassen sich alle Höhen ausrechnen.
Ciao, Andra |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 17:19: |
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Hallo Miriam, zu den Winkelhalbierenden:
Es gilt der Satz: Eine Dreiecksseite wird von einer Winkelhalbierenden in zwei Teile geteilt, deren Längen sich wie die Längen der anliegenden Seiten verhalten:
z.B. für Winkelhalbierende durch c und g: (Zum Beweis und zur Veranschaulichung siehe Abbildung auf http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/geom/sd8.html)
ca/cb = a/b
Damit gilt für das Dreieck BDC (s. Abb.) nach dem Kosinussatz:
wg² = ca² + a² - 2caa cosb
und mit cosb=(a²+c²-b²)/2ac
folgt dann
wg² = (ab³+2a²b²+a³b-abc²)/(a+b)²
und dementsprechend die anderen beiden
wb² = (ca³+2c²a²+c³a-cab²)/(c+a)²
wa² = (bc³+2b²c²+b³c-bca²)/(b+c)²
Formel für Seitenhalbierende z.B. auf Universitäts-Niveau:Mathematik für Informatiker:Dreieck
oder wie alle von dir verlangten Formeln auf Seite http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/geom/PD4.html#pd70 |
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