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Herleitung der Potenzgesetze

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 8-10 » Algebra » Potenz und Wurzel » Herleitung der Potenzgesetze « Zurück Vor »

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Undercover (Undercover)
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 11:51:   Beitrag drucken

Hallo!

Wer kann mir möglichst schnell eine Herleitung der Potenzgesetze für RATIONALE Exponenten geben.
Nach Möglichkeit so, daß man es in der Schule verstehen kann.

Danke im voraus!
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Niels
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 15:46:   Beitrag drucken

Hi undercover,

ich hätte die Beweise in meinem "Angebot".
Die einzigen Vorraussetzungen die du brauchst um die Beweise zu verstehen sind:
-Die "Normalen 5-Potenzgesetze"
-Wurzeldefinition
-Beweis das man Rationale Exponenten belibig erweitern oder kürzen darf(Zur Not beweis ich dir das auch noch..)

Wenn du die 3 Vorraussetzung erfüllst kann ich sonst gleich mit den Herleitungen beginnen.

Gruß Niels
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Undercover (Undercover)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 08:33:   Beitrag drucken

Hallo Niels!
Es wäre prima, wenn Du mir den Beweis zum erweitern und kürzen der rationalen Exponenten auch mitliefern könntest.
Könntest Du mir wenn möglich das ganze bis heute abend noch schreiben. Ich brauch das nämlich morgen.
Auf jeden Fall schon mal vielen Dank!!!!
Gruß Undercover
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Niels
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 15:00:   Beitrag drucken

Hallo undecover,

alles kein Problem...

Wir starten mit der Wurzeldefinition:

1.Wurzeldefinitionen:


1) a(1/n)=nÖa
2) a(p/q)=qÖap
3) a-(1/n)=1/nÖa
4) a-(p/q)=1/qÖap


2. Der Beweis, das man rationale Exponenten beliebig erweitern und kürzen darf:

Ausgangspunkt:

a(p/q)=qÖap=x...(I)

Aus (I) folgt:

xq=ap....(II)

x ist also die positive Lösung der Gleichung (II)

xq=ap...|k
xq*k=ap*k...(III)

Aus (III) folgt:

x=q*kÖap*k=a(p*k/q*k)

Aus (I) folgt schnell...

a(p/q)=a(p*k/q*k)

q.e.d

Satz:

Sind die Exponenten rational, so darf man sie nach den Regeln der Bruchrechnung beliebig erweitern und kürzen. Die Potenz verändert ihren Wert dabei nicht.


Prüfe diese Aussage an einem Beispiel:
Vergleiche zum Beispiel 2(2/3) und 2(4/6)
miteinander.Was ist das Ergebnis?

=================================================

Das war der erste Teil. Jetzt soll getestet werden, ob die 5 Potenzgesetze auch für rationale Exponenten gelten.

Bis gleich...

Gruß N.
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Niels
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 17:17:   Beitrag drucken

Hi undercover,

zu den Beweisen:

3. Der Beweis des 1. Potrenzgesetzes für rationale Exponenten:

a(r/s)*a(u/v)=?

Durch den Beweis von 2. können wir die Exponenten auf die Form:

a(p/n)*a(q/n)

bringen; zu Beweisen ist nun, das...

a(p/n)*a(q/n)=a((p+q)/n)

Wir substituieren:

a(p/n)=x1...(I)
a(q/n)=x2...(II)
a((p+q)/n)=x...(III)

x1*x2=x...(IV)

Aus Gleichung...

(I) folgt...

x1n=ap...(V)

(II) folgt...

x2n=aq...(VI)

Nun erhalten wir durch die multiplikation (v)*(VI)

x1n*x2n=ap*aq
(x1*x2)n=a(p+q)
xn=a(p+q)
=>
x=nÖap+q
x=a(p+q)/n

Aus (III) folgt...

a((p+q)/n)=x=a(p+q)/n

q.e.d kann ich da nur sagen...

==============================================

der Beweis für das 2. potenzgesetz funktioniert analog [(V)/(VI)]

Gruß N.
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Niels
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 20:41:   Beitrag drucken

Hi undercover,

nun zum 3. Potenzgesetz:

4. Beweis des 3. Potenzgesetzes für rationale Exponenten:

zu beweisen:

a(p/q)*b(p/q)=(a*b)(p/q)

Ansatz:

a(p/q)=x1...(I)
b(p/q)=x2...(II)
(a*b)(p/q)=x...(III)

x1*x2=x...(IV)

Aus (I) folgt...

x1q=ap...(V)

Aus (II) folgt...

x2q=bp...(VI)

durch multiplikation (V)*(VI)erhalten wir...

x1q*x2q=ap*bp
(x1*x2)q=(a*b)p
xq=(a*b)p
x=qÖ(a*b)p=(a*b)(p/q)

Und siehe da...

(a*b)(p/q)=(a*b)(p/q)

was soll man da noch sagen?

q.e.d
=================================================

Analog ließe sich das 4. Potenzgesetz beweisen...

Gruß N.
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Niels
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 21:02:   Beitrag drucken

Hallo undercover,

schnell noch der Beweis des 5. Potenzgesetzes

5. Der Beweis, das das 5. potenzgesetz auch für rationale Exponenten gilt:

zu beweisen:

[a(p/q)](m/n)=a(p*m/q*n)

Ansatz:

a(p*m/q*n)=x
x=nÖ(a(p/q))m...|n
xn=(a(p/q))m
xn=qÖ(ap)m...|q
xn*q=ap*m
x=n*qÖap*m=a(p*m/q*n)

Und es folgt...

a(p*m/q*n)=a(p*m/q*n)

und wie man sieht stimmt das!!!

q.e.d
==================================================

Ich hoffe ich konnte dir helfen...

gruß niels
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Undercover (Undercover)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 21:56:   Beitrag drucken

Hi Niels!

Vielen vielen Dank!!!!

Gruß Undervover

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