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anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Juni, 2001 - 11:21: | 
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Guten Tag!
Ich bräuchte dringend Hilfe zu folgendem:
Die Summe von n Zahlen von 1 bis n ist dann ohne Rest durch n teilbar wenn n ungerade ist.
Beispiel: n=5 5+4+3+2+1=15 5|15
Wie kann man dies beweisen? Die bekannte Summenformel Summe n = 1/2n (n+1) kann als bewiesen vorausgesetzt werden.
Ich denke ich habe einen Beweis, doch ich würde liebend gerne erst einmal mal andere sehen!
Vielen Dank! |
Xell
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Juni, 2001 - 19:35: |
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Die Summe lautet Sn 1 = 1/2 * n * (n+1)
Folglich teilt n die Summe, wenn gilt: (n+1)=2k
=> n=2k-1; k aus IN
2k-1 ist aber eine Darstellung einer ungeraden Zahl für alle k aus IN{1}
Für 1 gilt aber: n=1 und S1 1=1
=> die Behauptung f.a. n aus IN
q.e.d.
mfG |
anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 17:27: |
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Vielen Dank!
Was hältst Du von diesem Beweis? :
(tut mir leid, aber ich hatte nicht die Zeit, die Sonderzeichen einzubinden. hoffe es stört dich nicht allzusehr)
Wir zeigen die Gültigkeit des Satzes an der Summenformel: Summe n = 1/2 n * (n+1)
= n * 1/2(n+1)
n element N
Den rechten Term 1/2(n+1) betrachten wir genauer. Es können genau zwei fälle eintreten:
1. Der Term STELLT eine natürliche Zahl dar. hieraus folgt offensichtlich n|Summe
2. Der Term STELLT KEINE natürliche Zahl dar. hieraus folgt offensichtlich n teilt die Summe nicht.
Wann tritt nun welcher Fall ein?
Fall 1. tritt ein, wenn n eine UNGERADE Zahl ist, deshalb, weil der Nachfolger einer ungeraden Zahl trivialerweise eine gerade Zahl ist, und eine gerade Zahl nach Definition ohne Rest durch 2 dividiert werden kann und somit der Term eine natürliche Zahl ergibt.
Fall 2. tritt ein, wenn n eine GERADE Zahl ist, deshalb, weil der Nachfolger einer geraden Zahl eine ungerade Zahl ist, und diese nicht ohne Rest durch 2 dividiert werden kann und der Term somit keine natürliche Zahl ergibt?
Hieraus folgt, dass n element N ungerade sein muss.
Sag mir bitte Deine Meinung hierzu. Ist er nicht streng genug?
Vielen Dank!!!
mfg anonym *g* |
Xell
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 17:50: |
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Hi!
Sieht doch gut aus; sehe zumindest nicht, wo es da hapern sollte. Alles sehr gut erklärt, eine lückenlose Argumentation. Wir setzen hier natürlich voraus, dass Sn 1, also die Summe, eine natürliche Zahl ist, was man leicht dadurch begründen kann, dass die Addition innerhalb der natürlichen Zahlen "abgeschlossen" ist, d.h. n1+n2=n3; alle aus IN (Menge der natürlichen Zahlen).
Hast du noch etwas in der Art, was du beweisen wolltest oder zeigen. Werde es mir gerne ansehen.
mfG |
anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Juni, 2001 - 21:21: |
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Vielen Dank für die Antwort!
Hatte in den letzten Tagen keine Zeit, hierher zu kommen, und schreibe d.h. erst jetzt wieder.
Wenn Du mir das schon so nett anbietest, werde ich sicher nicht nein sagen. *g* Es geht um ein für mich viel wichtigeres kleines Problem. Ich habe es gelöst, habe einige Begründungen, habe hier bei Zahlreich schon ausführlich diskutiert. Trotzdem würde ich gerne noch einmal die Begründung meiner Formel über die Kombinatorik ausführlicher erklärt haben.
Leider muss ich etwas weiter ausholen:
Gegeben sei ein beliebiges Rechteck, welches aus
x*y identischen Quadraten besteht. Also ein Quadratgitter mit den Seitenlängen "in Quadraten"
x und y.
Die Frage ist nun, wie man aus diesen beiden Seitenlängen die Anzahl der möglichen, einzeichenbaren Rechtecke berechnen kann, welche auf den Seiten der Quadrate im Gitter liegen.Also das große Gitter selbst, dann sämtliche innen liegenden, bis hin zu den einzelnen kleinen.
Kurz ein Beispiel: Betrachte Dir einmal ein 2*2 Gitter, und zähle nach! Du wirst auf neun kommen.
Es stellte sich nun die Frage nach einer allgemeinen Formel. Ich fand sie in :
(1/2(x) (x+1)) * (1/2(y) (y+1))
Sie ist korrekt, und ich habe einige Begründungen, eine ansatzweise, verdammt komplizierte Herleitung, und ich besitze einen ziemlich komplizierten Beweis über vollständige Induktion, bei dem der Induktionsschritt über (x+y)+1 geführt wird.
Doch all das ist bei einem derart kleinen Problem nach meinem Geschmack unbefriedigend. Ich erfuhr hier, dass die Lösung,d.h. die Formel anscheinend mit den Mitteln der Kombinatorik sehr leicht zu erhalten ist. Da war auch etwas über die Formel für "ungeordnete Stichproben"...
Könntes Du mir diese Herangehensweise erläutern und die Formel so begründen? Die Menschen, die mich damals darauf brachten hielten sich sehr knapp.
Ich hoffe sehr, dass Du meine verspätete Antwort bemerkst, vielen Dank!!
Salut!
anonym |
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