ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe: Aus der Geometrie

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Hendrik

Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Januar, 1999 - 19:14:

Hallo Leute !

Der Umfang eines Rechtecks mißt 134 cm, der Flächeninhalt 1050 cm2.

So oder ähnlich sehen die Aufgaben aus, die mir mein MATHELEHRER stellt ! Keine weiteren Angaben !
Und davon 5 Aufgaben bis morgen !

Wer kann mir helfen ?

(Offenbar sind hier g und h gesucht)

Adam Riese

Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Januar, 1999 - 20:28:

Hallo Hendrik,
wenn Du folgenden Link anklickst, dann öffnet sich ein zusätzliches Fenster, wo Du die wichtigen Formeln für das Rechteck sehen kannst:
Zeichnungen und Formeln für das Rechteck
Dieser Link führt zu der Seite www.zum.de.
Du siehst die Formeln für den Umfang U und die Fläche A:

U=2(a+b)
A=a*b

wobei a und b die Längen der Seiten sind.
Da U und A in Deiner Aufgaben gegeben sind, können wir einsetzen:

134 = 2(a+b)
1050 = a*b

Jetzt haben wir also zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und das können wir auflösen:

Die erste Gleichung durch 2 teilen ergibt:
67 = a+b => b = 67-a, was wir jetzt in die zweite Gleichung einsetzen:

1050 = a * (67-a) => 1050 = 67a - a² oder anders geschrieben:

a²-67a+1050=0,

was eine ganz normale quadratische Gleichung ist, die wir mit der pq-Formel auflösen können:

a_1/2 = 67/2 ± Wurzel[(67/2)²-1050]

Unter der Wurzel das ergibt 4489/4 - 4200/4 = 289/4, die Wurzel ist dann 17/2.

Daraus ergibt sich dann
a₁ = 67/2 + 17/2 = 84/2 = 42 und
a₂ = 67/2 - 17/2 = 50/2 = 25.

Wir bekommen zwei Lösungen, da man a und b auch vertauschen kann, das ändert ja nichts an dem Umfang oder an der Fläche. Jetzt ergibt sich aus

b = 67 - a die beiden rechnerischen Möglichkeiten für b:

b₁ = 67 - a₁ = 67 - 42 = 25 und
b₂ = 67 - a₂ = 67 - 25 = 42.

Als gesamtes betrachtet sind beide Lösungspärchen (a₁,b₁) und (a₂,b₂) also gleich. Die Lösung lautet also:

Die Längen des Rechtecks betragen 42cm und 25cm.

Allgemein ergibt sich also a aus der Lösung der quadratischen Gleichung

a²-(U/2)*a+A=0, also a=U/4+Wurzel[U/4)²-A]

und b dann aus a durch b=U/2-a

Fragen?
Dann schreib' bitte nochmal.

Grüße von Adam

Adam Riese

Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Januar, 1999 - 22:32:

Steffi,
ich hab Deine Zeilen als neuen Beitrag aufgemacht unter Geometrie / Zentrische Streckung, da er dann leichter für andere zu finden ist, als direkt hinter einem bereits abgeschlossenen Thema.
Don't mind.
Adam

Anonym

Veröffentlicht am Montag, den 22. Februar, 1999 - 12:58:

Mir ist diese Aufgaben etwas unklar! Gleichseitige Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in einer Höhe übereinstimmen. Beweise!!!!!!!!!!
Gleichseitige Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in einer Winkelhalbierenden übereinstimmen. Beweise!!!!!!!!!!!

Pi*Daumen

Veröffentlicht am Montag, den 22. Februar, 1999 - 18:13:

Hallo,
1) Im gleichseitigen Dreieck gilt zum Verhältnis der Höhe h zur Seite s: h = 3/Wurzel(2) * s (wenn Du schon den Satz des Pythagoras hattest, kannst Du das selbst ausrechnen).
h und s unterscheiden sich also nur durch einen festen Faktor. Wenn also beide eine gleiche Höhe haben, dann haben sie auch eine gemeinsame Seite, dann sind alle drei Seiten gleich und beide sind kongruent laut Kongruenzsatz 1:
http://www.zum.de/ZUM/dwu/depot/mks002fl.gif
Siehe auch folgenden Link: http://www.zum.de/ZUM/dwu/depot/mks001fl.gif
2) Bei einem gleichseitigen Dreieck ist die Winkelhalbierende gleich der Höhe, weshalb wir die Begründung von 1) heranziehen können!

Alles klar? Pi*Daumen

Anonym

Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Mai, 1999 - 07:21:

Folgende Aufgabe aus dem Mathelehrbuch, Klasse 9 ist mir unklar:
Konstruiere ein Dreieck ABC aus:
Winkelhalbierende(Alpha) = 4,5 cm
Winkelhalbierende (Gamma) = 5,4 cm
Beta = 77°
Wie soll das funktionieren?
Kannst Du bitte helfen?

Anonym

Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Mai, 1999 - 23:31:

Tip:
Der Winkel zwischen dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und A und C ist gleich 2*Beta.

Maja

Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juni, 1999 - 12:44:

Hi,kann mir vielleicht jemand sagen wo ich hier Aufgaben zur Zentrischen Streckung und zu Ähnlichkeitsfiguren finde?
Danke schon mal im Vorraus. Maja

Adam Riese

Veröffentlicht am Samstag, den 26. Juni, 1999 - 12:50:

Hi Maja,
schau mal auf der ZahlReich.de- Hauptseite (Easybox-Mathe). Dort im Archiv und in Smart findest Du solche Aufgaben.

Oder auch hier:
zentrische Streckung
ähnliche Dreiecke
Auf dieser Seite unten findest Du auch vier gute Links zum Thema.

Adam

Christian

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Juni, 1999 - 12:56:

Hi, folgende Aufgabe hat mir schon schlaflose Nächte bereitet:

Ein Bauer hat eine kreisförmige Weide (beliebiger radius). An irgendeiner Stelle des Umfangs bindet er mit einem Strick eine Ziege an. Die Ziege soll nun von der Weide genau die Hälfte der Gesamtfläche erreichen können. Wie lang muß der Strick sein? (Also der Radius des 2. Kreises)

Es gibt sicher eine simple Lösung, ich konnte sie
allerdings nicht finden. Ich hoffe jemand kennt sie.

Pi*Daumen

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Juni, 1999 - 18:50:

Hi Christian,
Sei der Radius der Weide R und die Stricklänge, also der Radius des kleinen Kreises r.
Dann ist die Fläche der Gesamtweide:
A=pR²
und die von der Ziege erreichbare Fläche:
A/2=A'=A=pr² => A=2pr²
Beide Gleichungen gleichgesetzt ergibt:
pR²=2pr² => R²=2r² => r²=R²/2 => r=R/Wurzel(2).
Der Strick muß ca. 70,7 % des Weidenradius lang sein.

Alles Klar?
Pi*Daumen

P.S: Rein rechnerisch ist auch -R/Wurzel(2) eine Lösung der obigen Gleichung. Aber der gesunde Menschenverstand sortiert diese Lösung vor Beantwortung der Frage aus :-)

Christian

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Juni, 1999 - 21:10:

Danke für die prompte Antwort aber das ist noch nicht ganz was ich suche.
Das Problem ist, daß die Ziege am Rand der Weide angepflockt ist, sich also der Bewegungskreis der Ziege und der Kreis der Weidefläche überlappen und die Zone der Überlappung soll die Hälfte der Gesamtweidefläche ausmachen. Ich habe mal versucht das als ASCII-Grafik darzustellen:

..............***
............*..A..*
..........*...........*...Weide (Radius bekannt)
.........*...+++.....*
.........+*...A/2..+*
.......+...*.......*.+
......+.......***.....+
......+...............+...Ziegenkreis (Radius gesucht) Ursprung = Rand der Weide
.......+.............+
.........+..........+
.............+++

Puh! Nicht hübsch aber hoffentlich anschaulich!
Die Höhe dieser Überlappungszone entspricht also dem Radius des Ziegenkreises und dieser wiederum muß größer sein als der Radius der Weide; aber wie läßt es sich berechnen?

Adam Riese

Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Juli, 1999 - 23:19:

Christian, ich habe mich auch mal an der Aufgabe versucht, die hat's in sich.
Wenn Du ein kartesisches Koordinatensystem aufmalst und den Mittelpunkt der Weide genau auf den Ursprung legst, dann zeichne bitte den 2. Kreis links davon so, daß er auch durch die x-Achse halbiert wird. Die x-Koordinate des Schnittpunktes beider Kreise nennen wir s. Den kleinen Kreis bezeichnen wir mit f1 und den großen mit f2. Der Radius des kleinen Kreises sei r und der des großen sei R. Es reicht, die oberen Hälften der Kreise zu betrachten. Es gilt dann f1=Wurzel(r²-x²) und f2=Wurzel[R²-(x+r)²]
Zwischenfrage: Die Aufgabe steht zwar unter Klassen 8-10, aber Du bist sicher schon weiter, oder?? Ich frage, weil ich nämlich jetzt mit Integralrechnung weitergemacht habe. Also ruhig protestieren, wenn Du damit noch nichts anfangen kannst.
Es gilt:
ò_s⁰ f1 dx=ò_s^R-r f2 dx
Da bekomme ich dann zwei lösbare Integrale mit Wurzeln und arcsin, letzlich gelange ich zu der folgenden Gleichung mit "nur" einer Unbekannten, nämlich R:

R*Wurzel(4r²-R²) - 2r²*arcsin[(R²-2r²)/(2r²)] = R²p - 2R²*arcsin(R/2r)

Leider habe ich es nicht geschafft, diese Gleichung nach R aufzulösen, dann wären wir ja fertig.
Wenn das jemand kann oder einen einfachen Lösungsweg findet, dann bitte hier posten.
Ich habe die Aufgabe auch nochmal weitergeleitet, vielleicht hat noch jemand einen besseren Einfall.

Letzte Frage für heute:
Woher hast Du diese Aufgabe? Sie gefällt mir.

Adam

Adam Riese

Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juli, 1999 - 17:53:

Christian,
ich hab einen Hinweis bekommen mit einem etwas einfacheren Ansatz (Klasse 8-10 gemäß) und der Lösung: R = 1.1587284730 * r
Seit 200 Jahren konnte niemand die Gleichung exakt lösen, wahrscheinlich wird es auch niemand jemals können.
Hier der Link:
Ziege auf kreisförmiger Wiese.
Übrigens sind dort auch noch andere interessante Aufgaben.
Also brauchst Du Dich nicht zu genieren, es gab schon viele Leute mit vielen schlaflosen Nächten wegen dieser Aufgabe.

Wenn Du mal wieder eine so "einfache" Aufgabe hast (ich meine von der Aufgabenstellung), dann laß es uns wissen.

Ciao,
Adam

Susanne

Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. September, 1999 - 15:00:

Hallo!
Ich wollte nur fragen, ob Ihr ihr wißt, wie man
die Heronsche Formel herleitet.dh
A=sqr(s(s-a)(s-b)(s-c)), mit s=(1/2)(a+b+c)
(im Dreieck ABC)

Danke Susi

Adam Riese

Veröffentlicht am Samstag, den 11. September, 1999 - 14:43:

Susanne,
schau Dir folgendes Dreieck an:

function

Es gilt
A=r*s
und mit Hilfe trigonometrischer Beziehungen und dem Halbwinkelsatz erhält man die Heronische Flächenformel.
(Man beachte, die sechs Dreiecke, die die gesamte Fläche ergeben, sind alle rechtwinklig).

Genügt Dir dieser Ansatz und das Bild?

Adam

wet

Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2000 - 17:28:

kann mir bitte bitte jemand den satz des heron aufschreibenvielen dank!!!

MDorff

Veröffentlicht am Freitag, den 07. Januar, 2000 - 09:21:

Kann ich, WET,
A=Wurzel aus [s*(s-a)(s-b)(s-c)]

MDorff

Veröffentlicht am Freitag, den 07. Januar, 2000 - 09:25:

Kleiner Zusatz, WET,
s ist der halbe Dreiecksumfang.
Für den Umfang gilt:
u=2s=a+b+c.
Gruß !

Anonym

Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2000 - 16:05:

Hallo Mathegenies,

schreibe am Montag Schulaufgabe - fand den Eintrag
"Das cavlierische Prinzip" in meinen unterlagen- habe es nicht ganz verstanden - mir fehlen die informationen -
brauche hilfe - stop

10. Klasse,Gym

MDorff

Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Januar, 2000 - 10:19:

Hallo, Anonym,
du meinst bestimmt "cavalierisches..."
Satz von Cavalieri (Italien 1598-1647) besagt:
Liegen zwei Körper zwischen zwei parallelen Ebenen und werden sie von jeder Parallelebene in inhaltsgleichen Flächen geschnitten, so haben die Körper den gleichen Rauminhalt"
Cavalieri-Satz: V=A*h =abh
(A=Grundfläche des Vierkantprismas(gerade oder schief: h=Höhe)

Megge

Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Januar, 2000 - 14:15:

Hallo Mathegenies,
ich bins nochmal ("Cavalieri"), könntet ihr mir das auch mit einer kleinen skizze oder so was ähnlichem erläutern. ich kann mir das immernoch nicht ganz erklären.

danke

Veröffentlicht am Montag, den 17. Januar, 2000 - 16:15:

Hi Megge,
hier findest Du das passende Bildchen und mehr:
http://did.mat.uni-bayreuth.de/~wn/Kugel/cavalieri.html
cya,
Richie

Rätselfreund

Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Januar, 2000 - 11:22:

Hi Leute,

Brauche die Antwort auf folgende Frage, um einem Freund bei seinem Rätselbuch weiterzuhelfen.Bitte helft mir!
"Ein Landwirt verkauft Getreide und Flachs. Flachs verkauft er dreimal so teuer wie Getreide. Insgesamt verkauft er 40 Säcke und nimmt 126 Silberlinge ein. Wieviel Säcke Getreide hat er verkauft, wenn er für einen Sack Flachs 9 Silberlinge verlangt?" Es hört sich einfach an, aber ich kriege nicht die richtigen Zahlen.

ich danke euch jetzt schon für eure hilfe!

Fern

Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Januar, 2000 - 14:48:

1 Sack Flachs kostet 9 Silberlinge
1 Sack Getreide kostet 3 Silberlinge.

F...Anzahl der Flachssäcke
G...Anzahl der Getreidesäcke

F*9+G*3=126...Gesamzsumme
F+G=40......Gesamtzahl der Säcke

Aus der zweiten Gleichung: G=40-F
in die erste eingesetzt:

F*9+(40-F)*3=126
9F+120-3F=126
6F=6
F=1
===
G=40-F=39
========
Der Landwirt verkauft 39 Säcke Getreide zu je 3 S. und 1 Sack Flachs zu 9 S.
Dies ergibt eine Verkaufsumme von 126 S.
=======================================0

Andrea

Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 13:26:

Wer mailt mir mal schnell die Formel zur Berechnung eines Kreises.
Habe leider keine Nachschlagewerke im Haus und die Schule liegt schon ein paar Jahre hinter mir.
Andrea

franz

Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 13:46:

r Radius, d=2*r Durchmesser, U=2*pi*r Umfang (pi=3,14159265395...), b=r*alpha Kreisbogen, A=pi*r² Kreisfläche, A(K.ring)=pi*(r²2-r²1), A(K.segment)=r²/2 *(alpha-sin(alpha)); alpha in Bogenmaß. Eine "runde" Sache wünscht F.

Niels

Veröffentlicht am Montag, den 21. August, 2000 - 19:04:

Hallo Adam,

-Ich beziehe mich jetzt auf dein Beitrag vom Samstag, dem 11. September 1999-

Ich finde dein Ansatz zur Herleitung der heronischen Formel Interressannt; komme aber nicht weiter bei der Fortführung des Ansatzes. könntest du nochmal bitte zu Hause graben um den Beweis zu vollenden.
Ich habe sonst nur ein komischen Schulbuchbeweis an dessen vollendung ich scheitere.

Kannst du-oder jemand anderes-mir helfen?

Danke im Voraus!!!!

Niels

Ralf

Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 17:18:

Kannst Du den Beweis aus Deinem Schulbuch hier mal einfügen? Den zu erklären geht evtl. schneller.
Ralf

Niels

Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 18:45:

Hallo Ralf!

-wenn du meinst?1!-

Dann erst einmal ein kleines Bildchen dazu:

heronische Formel

Zuerst ist zu zeigen, das im beliebigen Dreieck (Bildchen) gilt:
b²+c²-a²
-----------=p
2c
Und bei q
a²+c²-b²
-----------=q
2c

das kriege ichh ja noch hin;....

Dann ist zu zeigen, das gilt:

h²=(b+p)*(b-p)

Das ist ja auch noch klar;

Aber dann:

In diese Formel (h²=(b+p)*(b-p)) soll für p die oben genannte Formel eingesetzt werden und dann auf die Form:

4c²h²=[a²-(b-c)²]*[(b+c)²-a²]

gebracht werden.

Zum Schluß sollb dann a+b+c=2s irgentwie eingesetzt werden und somit die heronische Flächenformel für Dreiecke:

A=Ö(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))

bewisen wurden sein.

übrigens Die Herleitung für den "Satz des Ptolemäus" (Flächenformel Sehnenviereck) fürde mich ebenfals brennend in diesem Zusammenhang interressieren.

Danke nochmal!

Gruß N.

Niels

Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 18:54:

Hallo Ralf!

-wenn du meinst?1!-

Dann erst einmal ein kleines Bildchen dazu:

heronische Formel

Niels

Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 19:01:

Hallo Ralf!

-wenn du meinst?1!-

Dann erst einmal ein kleines Bildchen dazu:

$C:\Eigene Dateien\Schule\Schulfächer\Mathematik\heronische Formel.gif$

Zuerst ist zu zeigen, das im beliebigen Dreieck (Bildchen) gilt:
b²+c²-a²
-----------=p
2c
Und bei q
a²+c²-b²
-----------=q
2c

das kriege ichh ja noch hin;....

Dann ist zu zeigen, das gilt:

h²=(b+p)*(b-p)

Das ist ja auch noch klar;

Aber dann:

In diese Formel (h²=(b+p)*(b-p)) soll für p die oben genannte Formel eingesetzt werden und dann auf die Form:

4c²h²=[a²-(b-c)²]*[(b+c)²-a²]

gebracht werden.

Zum Schluß sollb dann a+b+c=2s irgentwie eingesetzt werden und somit die heronische Flächenformel für Dreiecke:

A=Ö(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))

bewisen wurden sein.

übrigens Die Herleitung für den "Satz des Ptolemäus" (Flächenformel Sehnenviereck) fürde mich ebenfals brennend in diesem Zusammenhang interressieren.

Danke nochmal!

Gruß N.

Niels

Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 19:04:

Hallo Ralf!

-wenn du meinst?1!-

Dann erst einmal ein kleines Bildchen dazu:

Zuerst ist zu zeigen, das im beliebigen Dreieck (Bildchen) gilt:
b²+c²-a²
-----------=p
2c
Und bei q
a²+c²-b²
-----------=q
2c

das kriege ichh ja noch hin;....

Dann ist zu zeigen, das gilt:

h²=(b+p)*(b-p)

Das ist ja auch noch klar;

Aber dann:

In diese Formel (h²=(b+p)*(b-p)) soll für p die oben genannte Formel eingesetzt werden und dann auf die Form:

4c²h²=[a²-(b-c)²]*[(b+c)²-a²]

gebracht werden.

Zum Schluß sollb dann a+b+c=2s irgentwie eingesetzt werden und somit die heronische Flächenformel für Dreiecke:

A=Ö(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))

bewisen wurden sein.

übrigens Die Herleitung für den "Satz des Ptolemäus" (Flächenformel Sehnenviereck) fürde mich ebenfals brennend in diesem Zusammenhang interressieren.

Danke nochmal!

Gruß N.

Niels

Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 19:07:

Nachtrag:

heronische Formel
heronische_formel.jpg (8 k)

dave

Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 18:20:

Ich bin so weit, dass jetzt die Geschicht mit dem Einsetzen von 2s = a + b + c beginnen kann.

4c²h² = (a – b + c) (a + b – c) (b + c – a) (b + c + a)

weitere Übelegungen lass ich euch selbst machen.

Übrigens kenn ich da einen viel einfacheren Beweis.

David

Niels

Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 19:46:

Hallo david,

wenn du einen viel einfacheren Beweis kennst, stell ihn doch bitte ins Board!

Gruß N.

dave

Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 07:46:

Hi Niels,

Ich hab inzwischen nachgeschaut und bin draufgekommen, dass ich dass mit einen für denn Inkreis verwechselt haben.
Tut mir leid

David

dave

Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 10:00:

Hallo Niels,

Inzwischen bin ich mit dem Beweis fertig.
Achte auf Binome, dann ist er gar nicht so schwer.
Man verliert nur bald die Übersicht wegen den vielen Klammern.
Von der Zeile, die ich gestern angegeben habe, sind es nur mehr 4 Zeilen (ev. kleine Nebenrechnung nötig).

David

PS: leider haben sich bei meiner letzten Nachricht paar Mal vertippt.

Niels

Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 11:02:

Hallo David!

Es freud mich, wenn du mit den Beweis fertig bist:-)

Aber, könntest du ab der Zeile

h²=(b+p)*(b-p)

den Beweis hier ins Board stellen? Ich komme mit den weiteren Umformungen nicht klar.

Der Beweis für den Inkreisradius interressiert mich natürlich auch. genauso wie Beweise für Seitenhalbierende, Winkelhalbierende und Fläche (A0abc/4r)

Danke im voraus!

Gruß N.

Niels

Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 11:07:

Hallo david!

Es muß natürlich A=abc/4r heißen.

Ciao

Niels

dave

Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 15:33:

Hallo Niels,

Ich poste jetzt mal den Schluß des Beweises.
Bei Fragen melde dich einfach.

2. Teil : h² = b² - p² = (b – p)(b + p) (siehe 1. Teil)
h² = [b – (b² + c² -a²) / 2c] [b + (b² + c² -a²)/2c]
h² = [(2bc - b² - c² + a²) / 2c] [(2bc + b² + c² -a²)/2c]
4c²h² = (2bc – b² - c² + a²) (2bc + b² + c² -a²)
4c²h² = [a² - ( b - c)² ] [(b + c)² - a²]
4c²h² = [a – (b – c)] [a + (b – c)] [(b + c) – a][(b + c) + a]
4c²h² = (a – b + c) (a + b – c) (b + c – a) (b + c + a)

2s = a + b +c /- 2b
2s – 2b = a – b + c /ebenso für 2. und 3. Klammer

4c²h² = (2s - 2b) (2s - 2c) (2s – 2a) * 2s
4c²h² = 16(s – b) (s –c) (s – a)*s

c²h²/4 = (s – b) (s –c) (s – a)*s
c*h/2 =Wurzel[(s – b) (s –c) (s – a)*s]
David

dave

Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 15:43:

Am Schluss hab ich noch etwas vergessen

c*h/2 = A = Wurzel[s(s-a)(s-b)(s-c)]

Was mich noch interessieren würde ist, wie man den Beweis mit den Ansatz von Adam machen soll (siehe oben).

Noch etwas zum Beweis für die Winkelhalbierende, ich würde den gern einmal mit Vektorrechnung sehen.

David

Niels

Veröffentlicht am Freitag, den 25. August, 2000 - 14:24:

Hallo David!

Danke erstmal für die Herleitung:-)))

entschuldige meine vverspätete Antwort, aber ich habe mir noch gedanken über Adams Ansatz gemacht.
Ich bin dabei bruchstückhaft zur Materie hervorgedrungen. jedenfals kann ich jetzt folgendes Nachvolziehen:

-ich weis jetzt warum gilt: A=p*s
p...Inkreisradius
-wie ich x,y,z durch (s-a),(s-b),(s-c) ausdrücken kann.
-Auserdem kann ich jetzt die Formeln für p herleiten, indem ich p durch den tan(a/2)etc ausdrücke.
a...Alfa

Was meint aber Adam mit "Halbwinkelsatz"?
-Vieleicht meint er ja die Formeln für halbe Winkelmaße-

Jedenfalls weis ich hier nicht mehr weiter...

Vieleicht fällt ja dir dave-oder jemand anderen-etwas schlaues dazu ein...

Gruß N.

dave

Veröffentlicht am Freitag, den 25. August, 2000 - 19:20:

Hallo Niels

Könntest du den Anfang etwas ausführlich hier veröffentlichen. Bis zu den Teil A = roh * s ist mir alles klar, der Teil dazischen geht mir ab und für den 3. Teil ist der Ansatz: tan (alpha/2) = roh /(Seite / 2).

Ich muss zugeben ich hab mich noch nicht intensiver damit beschäftig.

Melde dich wieder, wenn du weiter gekommen bist.

David

Niels

Veröffentlicht am Samstag, den 26. August, 2000 - 09:03:

Hallo David,

was für ein teil B meinst du?

Etwa den Beweis x=(s-a) etc?

Gruß N.

dave

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. August, 2000 - 08:31:

Genau das mein ich.

David

Niels

Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 12:08:

Good Morning David!

Zum Beweis:

Aus Adams Skizze geht hervor:

a=y+z
b0x+z
c=x+y
-----------
a+b+c=2*(x+y+z)|:2

(a+b+c)/2=x+y+z

(a+b+c)/2=s

s=x+y+z

Auf diese Idee könnte man auch noch so kommen...

Nun Lösen wir Beispielsweise nach x auf:

s-y-z=x

Da gilt:

a=y+z|*(-1)
-a=-y-z

Und daraus folgt:

(s-a)=x

Teil C:

tan(Alfa/2)=p/x=p/(s-a)Þ

p=(s-a)*tan(a/2)

Ich weis aber nicht, in wie fern uns diesb zur heronischen Formel führt.

Gruß N.

dave

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. August, 2000 - 16:58:

Hallo Niel,

Adam hat recht, wenn man nicht erst den Halbwinkelsatz beweisen muss ist sein Ansatz bei weiten der kürzere. - DenHalbwinkelsatz zu beweisen reitzt mich nun, aber doch.

Übrigens mit Halbwinkelsatz ist folgendes gemeint:
tan(alpha/2)=Wurzel {(s-b)(s-c)/[s*(s-a)} (ich hab das aus Lilliput-Lexikon von Langenscheidt)
Durch zyklische Vertauschung erhälst du die Beziehungen für die restlichen Winkel.

Wie gibt man das Alphazeichen ein?

David

Niels

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. August, 2000 - 20:40:

Hallo David,

nicht nur dich reitzt der "Halbwinkelsatz"...
eine Herleitung dieses Satzes interressiert mich auch.

hast du eine idee wie man ihn herleitet?

sobalt jemand von uns-oder jemand anderes-eine Herleitung parat hat soll er/sie sie ins Board stellen.

Im Notfall morse ich Adam per mail an-Ihm wird dies vieleicht nicht gefallen, aber mal sehen...

zu den Formatierungen:

a=\greek{a}

Gruß Niels

dave

Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 08:22:

Hallo Niels,

Hast du inzwischen Ansätze zum Halbwinkelsatz?

Gruß David

Niels

Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 16:58:

Hallo David,

wenn ich "Franz" glauben schencken darf, dann befindet sich ein passender Beweis auf S298 Des Bandes

(Meyer) kleine Enzyklopädie Mathematik

Leider habe ich das Buch (noch) nicht.

sonst habe ich keine ansätze Dazu.

Bist du sonst weitergekommen?

Gruß N.

dave

Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 17:40:

Hallo Niels,

Ebenfalls noch nichts! Leider!
Sag mal studierst du Mathe?

Gruß David

franz

Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. September, 2000 - 08:58:

Die goniometrischen Halbwinkelbeziehungen, beispielsweise cos(alpha/2) = w[(1+cos(alpha))/2], ergeben zusammen mit dem Kosinussatz die erwähnten Formeln cos(alpha/2) = w[s(s-1)/bc] mit s=U/2. Ähnlich für sin(alpha/2) und nach Division tan(alpha/2) = w[(s-b)(s-c)/s(s-a)], was ich als eigentlichen "Halbwinkelsatz" bezeichnet fand. Entsprechend bei den anderen Winkeln.

Die erwähnten Seitenzahlen beziehen sich auf eine ältere Ausgabe; die neuere enthält den Sachverhalt jedoch gleichfalls. F.

Constantin (Goofy96)

Veröffentlicht am Freitag, den 29. September, 2000 - 20:51:

Hi Leute,
bei mir gehts um das hübsche ziegenproblem (Monty Hall), Schön und gut, nur ich muss in Excel eine Simulation erstellen (programmieren: Randbetween, wenn....dann....).

Vieleicht findet sich ja jemand, der sich damit auskennt. Danke für die Hilfe!!

Cons

Berta

Veröffentlicht am Samstag, den 30. September, 2000 - 21:22:

Bitte fang einen neuen Beitrag für ein neues Beispiel an und formuliere deine Frage so, dass man weiß, was gegeben und gesucht ist!!

Nicole

Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 13:44:

Hi
Ich komm bei der folgenden Aufgabe einfach nicht weiter!!
Also:Man hat einen Kreis und man darf 4 Sehnen einzeichnen.Man soll die Sehnen so einzeichnen,dass man möglichst viele Felder erhält!Das Ergebnis dazu ist:Man bekommt höchstens 11 Felder!Jetzt wird aber noch gefragt wie viele Felder man höchstens mit x Sehnen erhalten kann!Gibt es dazu vielleicht ne Formel??
Ich hab echt keine Idee mehr wie ich die Aufgabe lösen kann!

Nicole

Muri

Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 14:41:

Hallo Nicole,
Neue Frage - neuer Beitrag!

DIEFLAME

Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 14:18:

IHR VERDAMMTEN HURENSOENE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

PORN_O

Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 14:25:

1100000000000001111001011001001011111000000000001110101101010000000000111110101010011110011111111110100011111111111010110010010001010101110100000000011111111111101101001010100010000011110011101010101110100010101010111111111111100011001101010101011011101101111000101011010101100101011010111101011011011010100110000101010101100010010001010000001010110101011010101101010000000000111110010110110101110110110110100101010010111110100110010101011011010101010101011010100101010110101010110101011110100000000011011010010111010101010110100111011010011101011111
1100000000000001111001011001001011111000000000001110101101010000000000111110101010011110011111111110100011111111111010110010010001010101110100000000011111111111101101001010100010000011110011101010101110100010101010111111111111100011001101010101011011101101111000101011010101100101011010111101011011011010100110000101010101100010010001010000001010110101011010101101010000000000111110010110110101110110110110100101010010111110100110010101011011010101010101011010100101010110101010110101011110100000000011011010010111010101010110100111011010011101011111
1100000000000001111001011001001011111000000000001110101101010000000000111110101010011110011111111110100011111111111010110010010001010101110100000000011111111111101101001010100010000011110011101010101110100010101010111111111111100011001101010101011011101101111000101011010101100101011010111101011011011010100110000101010101100010010001010000001010110101011010101101010000000000111110010110110101110110110110100101010010111110100110010101011011010101010101011010100101010110101010110101011110100000000011011010010111010101010110100111011010011101011111
1100000000000001111001011001001011111000000000001110101101010000000000111110101010011110011111111110100011111111111010110010010001010101110100000000011111111111101101001010100010000011110011101010101110100010101010111111111111100011001101010101011011101101111000101011010101100101011010111101011011011010100110000101010101100010010001010000001010110101011010101101010000000000111110010110110101110110110110100101010010111110100110010101011011010101010101011010100101010110101010110101011110100000000011011010010111010101010110100111011010011101011111

löst das!

Jochen

Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 15:26:

Für DIEFLAME!!!
Wenn du unbedingt meinst, dass du die Leute beledigen musst, die viele Stunden Zeit opfern um anderen, die Probleme mit Mathematik haben, zu helfen, dann solltest du wenigstens die deutsche Rechtschreibung beherrschen.

plast

Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 22:02:

hm der beweis für den flächensatz is nicht so einfach zu verstehen ich mach ihn hier mal nochmal vollständig<br>
ich hoffe er ist gepostet auch noch so gut lesbar wie im editor...
<font face=Courier New>

/* */ Kommentar
x^y x hoch y
x/y x geteilt durch y
x*y x mal y
(x) Formel Nr. x
(x) +/-/in/mit (y) ==> (z) Formel Nr. x +/-/in/mit Formel Nr. y führt zu Formel Nr. z
{[({[()]})]} Klammern ;)

gegeben ist:
beliebiges Dreieck mit Eckpunkten A,B,C
Seiten a,b,c jeweils gegenüberliegend zu A,B, bzw. C
Höhe h von c mit Endpunkt D
q = Strecke [AD]
p = Strecke [DB]
s = Hälfte des Umfanges
Fl = Fläche

Formelindex:

gegeben:
(1) c = p + q
(2) a^2 = h^2 + p^2
(3) b^2 = h^2 + q^2
(4) h^2 = b^2 - q^2

abgeleitet:
(5) q = (- a^2 + b^2 + c^2) / (2 * c)
(6) 2 * s = a + b + c
(7) 2 * (s - a) = - a + b + c
(8) 2 * (s - b) = a - b + c
(9) 2 * (s - c) = a + b - c
(10) Fl = Wurzel[s * (s - a) * (s - b) * (s - c)]

(3) - (2) ==> (5)

b^2 - a^2 = q^2 - p^2 | bin. Formel
= (q + p) * (q - p) | mit (1)
= c * (q - p) | / c
<=> (b^2 - a^2) / c = q - p | + (1)
<=> c + [(b^2 - a^2) / c] = 2 * q
<=> (- a^2 + b^2 + c^2) / c = 2 * q | / 2
<=> (- a^2 + b^2 + c^2) / (2 * c) = q | ==> (5)

(5) in (4)
h^2 = b^2 - q^2 | bin. Formel
= (b + q) * (b - q) | mit (1)
= [b + (- a^2 + b^2 + c^2 ) / (2 * c)] * [b - (- a^2 + b^2 +c^2) / (2 * c)]
= {[- a^2 + b^2 + (2 * b * c) + c^2] / [2 * c]} * {[a^2 - (b^2 - {2 * b * c} + c^2)] / [2 * c]} | bin. Formel
= {[(b + c)^2 - a^2] / [2 * c]} * {[a^2 - (b - c)^2] / [2 * c]} | / (2 * c) * (2 * c)
<=> 4 * h^2 * c^2 = [(b + c)^2 - a^2] * [a^2 - (b - c)^2)] | bin. Formel
= (a + b + c) * (- a + b + c) * (a - b + c) (a + b - c)

/*
2 * s = a + b + c | ==> (6)

2 * s = a + b + c | - (2 * a)
<=> (2 * s) - (2 * a)
= 2 * (s - a) = - a + b + c | ==> (7)

2 * s = a + b + c | - (2 * b)
<=> (2 * s) - (2 * b)
= 2 * (s - b) = a - b + c | ==> (8)

2 * s = a + b + c | - (2 * c)
<=> (2 * s) - (2 * c)
= 2 * (s - c) = a + b - c | ==> (9)
*/

<=> 4 * h^2 * c^2 = s * 2 * (s - a) * 2 * (s - b) * 2 * (s - c)
= 16 * s * (s - a) * (s - b) * (s - c) | / 16
<=> (h^2 * c^2) / 4 = s * (s - a) * (s - b) * (s - c)

/*
(h^2 * c^2) / 4 = [(h * c) / 2]^2
= Fl^2
*/

Fl^2 = s * (s - a) * (s - b) * (s - c)

Fl = Wurzel[s * (s - a) * (s - b) * (s - c)]

q.e.d.
</font>

plast

Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 22:12:

hm der beweis für den flächensatz is nicht so einfach zu verstehen ich mach ihn hier mal nochmal vollständig
ich hoffe er ist gepostet auch noch so gut lesbar wie im editor...

man das is nicht fair einfach keine html befehle zu interpretieren

(
dann wirds eben n wenig unübersichtlicher

/* */ Kommentar
x^y x hoch y
x/y x geteilt durch y
x*y x mal y
(x) Formel Nr. x
(x) +/-/in/mit (y) ==> (z) Formel Nr. x +/-/in/mit Formel Nr. y führt zu Formel Nr. z
{[({[()]})]} Klammern ;)

gegeben ist:
beliebiges Dreieck mit Eckpunkten A,B,C
Seiten a,b,c jeweils gegenüberliegend zu A,B, bzw. C
Höhe h von c mit Endpunkt D
q = Strecke [AD]
p = Strecke [DB]
s = Hälfte des Umfanges
Fl = Fläche

Formelindex:

gegeben:
(1) c = p + q
(2) a^2 = h^2 + p^2
(3) b^2 = h^2 + q^2
(4) h^2 = b^2 - q^2

abgeleitet:
(5) q = (- a^2 + b^2 + c^2) / (2 * c)
(6) 2 * s = a + b + c
(7) 2 * (s - a) = - a + b + c
(8) 2 * (s - b) = a - b + c
(9) 2 * (s - c) = a + b - c
(10) Fl = Wurzel[s * (s - a) * (s - b) * (s - c)]

(3) - (2) ==> (5)

b^2 - a^2 = q^2 - p^2 | bin. Formel
= (q + p) * (q - p) | mit (1)
= c * (q - p) | / c
<=> (b^2 - a^2) / c = q - p | + (1)
<=> c + [(b^2 - a^2) / c] = 2 * q
<=> (- a^2 + b^2 + c^2) / c = 2 * q | / 2
<=> (- a^2 + b^2 + c^2) / (2 * c) = q | ==> (5)

(5) in (4)
h^2 = b^2 - q^2 | bin. Formel
= (b + q) * (b - q) | mit (1)
= [b + (- a^2 + b^2 + c^2 ) / (2 * c)] * [b - (- a^2 + b^2 +c^2) / (2 * c)]
= {[- a^2 + b^2 + (2 * b * c) + c^2] / [2 * c]} * {[a^2 - (b^2 - {2 * b * c} + c^2)] / [2 * c]} | bin. Formel
= {[(b + c)^2 - a^2] / [2 * c]} * {[a^2 - (b - c)^2] / [2 * c]} | / (2 * c) * (2 * c)
<=> 4 * h^2 * c^2 = [(b + c)^2 - a^2] * [a^2 - (b - c)^2)] | bin. Formel
= (a + b + c) * (- a + b + c) * (a - b + c) (a + b - c)

/*
2 * s = a + b + c | ==> (6)

2 * s = a + b + c | - (2 * a)
<=> (2 * s) - (2 * a)
= 2 * (s - a) = - a + b + c | ==> (7)

2 * s = a + b + c | - (2 * b)
<=> (2 * s) - (2 * b)
= 2 * (s - b) = a - b + c | ==> (8)

2 * s = a + b + c | - (2 * c)
<=> (2 * s) - (2 * c)
= 2 * (s - c) = a + b - c | ==> (9)
*/

<=> 4 * h^2 * c^2 = s * 2 * (s - a) * 2 * (s - b) * 2 * (s - c)
= 16 * s * (s - a) * (s - b) * (s - c) | / 16
<=> (h^2 * c^2) / 4 = s * (s - a) * (s - b) * (s - c)

/*
(h^2 * c^2) / 4 = [(h * c) / 2]^2
= Fl^2
*/

Fl^2 = s * (s - a) * (s - b) * (s - c)

Fl = Wurzel[s * (s - a) * (s - b) * (s - c)]

q.e.d.

flo

Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. August, 2001 - 13:35:

Hi leute ich brauche unbedingt bis morgen einen Tipp ich habe volgeden Drachen:
Gegeben:
BC: 13mm
CD: 52mm
Betta: 45°
Gamma: 110°

der Drachen ist mit diesen Maßen nicht zu zeichnen aber warum???

fände es echt toll wenn mir jemand helfen könnte!!!!!

Flimsi

Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. August, 2001 - 11:51:

Hi flo,
Bei neuen Fragen - neuer Beitrag!

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