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Natürl. Zahl = Summe von 4 Quadraten...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 8-10 » Arithmetik » Natürl. Zahl = Summe von 4 Quadraten « Zurück Vor »

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Carsten
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 10:29:   Beitrag drucken

Hallo,
wie beweise ich, dass man jede natürliche Zahl als Summe von vier Quadratzahlen ausdrücken kann?
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Xell
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 12:42:   Beitrag drucken

Hi Carsten!

Beh.: Jede Zahl lässt sich als Summe höchstens vierer Quadratzahlen ausdrücken.

Ansatz: Angenommen n² sei eine Quadratzahl
Dann gilt: (n+1)²-n²=n²+2n+1-n²=2n+1 => In jedem Intervall [n²;n²+2n+1] liegen genau zwei Quadratzahlen.

1=1
2=1+1
3=1+1+1

4=4
5=4+1
6=4+1+1
7=4+1+1+1
8=4+4

9=9
10=9+1
11=9+1+1
12=9+1+1+1
13=9+4
14=9+4+1
15=9+4+1+1

16=16
17=16+1
18=16+1+1
19=16+1+1+1
20=16+4
21=16+4+1
22=16+4+1+1
23=9+9+4+1
24=16+4+4

mfG, Xell :-)

P.S.: Kein ausgegorener Beweis, aber immerhin ein hoffentlich nutzbringender Ansatz.
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Carsten
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Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 19:40:   Beitrag drucken

Hallo Xell, vielen Dank für deine Bemühungen, leider hat mir das nicht weitergeholfen, weil ich mir diese Sachen vorher auch schon klargemacht habe.
Bitte um Entschuldigung, dass ich mich ungenau ausgedrückt habe, mit "Quadratzahlen" meinte ich die Zahlen 0, 1, 2, 3, ...
Dann sind es nicht "höchstens vier", sondern "genau vier".

mfG Carsten

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