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Beitrag |
    
Martin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 17:11: | 
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Ich hab mal gelesen daß es im 16ten Jahrhundert einen Mathematiker gab, der für die 2te bis 7te (!) Wurzel eine Art Bildungsformel (oder Algorithmus) aufgestellt hat. Der Name des Mathematikers ist mir jetzt eigentlich schnuppe, aber kennt jemand diese Algorithmen? |
Zweifler
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 08:11: |
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Heron ? |
lnexp
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 09:09: |
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Ganz allgemeiner:
x=n.-te-wurzel(a) | Gleichung hoch n
x^n=a | -a
x^n-a=0
Definiere die Funktion f(x)=x^n-a
Nach dem Näherungsverfahren von Newton (Tangentenverfahren) gilt:
ist |f(x) * f ''(x)| < [f '(x)]^2 in einem Intervall [a;b] erfüllt, und liegt der Wert z mit f(z)=0 in [a;b] (in diesem Falle ist z die gesuchte Wurzel), dann gilt
x_(n+1)=x_n - f(x_n)/f'(x_n)
x_n+1 ist der neue Wert, den man aus x_n berechnet
x_n ist der ältere Wert, und zu Beginn der Startwert:
Dies ist ein rekursives Verfahren, das einen "guten" Startwert x0 erfordert, d.h. die Bedingung |f(x_0) * f ''(x_0)| < [f '(x_0)]^2erfüllt.
Aus der "Erfahrung" reicht es, "relativ nahe an der Lösung" zu sein.
Aber zurück zur Formel:
Für n=2 erhältst Du, wenn Du x_n+1 als x(neu) (bessere Näherung) und x (als bisherige Näherung x_n) wählst:
x(neu)=x - (x^2-a)/(2x)=2x^2/(2x) - (x^2-a)/(2x)=(x^2+a)/(2x)=x/2 + a/(2x)
Wenn Du z.B. die Wurzel(2) näherungsweise berechnen willst, beginnst Du mit a=2 (das ist die Zahl, aus der Du die Wurzel ziehen möchtest) und z.B. mit x=1:
1/2 + a/(2*1)=1,5 (mit a=2)
1,5/2 + a/(2*1,5)=17/12=ca.1,416666666...
(wieder a=2)
(17/12)/2 + a/(2*17/12)=577/408=ca.1,414215686...
(immer noch a=2 u.s.w.)
Der Taschenrechner liefert beim Quadrieren jetzt schon etwa 2,000006007..., also etwa a=2 .
Dieses Verfahren geht sogar bis zu beliebigen Wurzeln weiter:
x=8.te-wurzel(a)
x^8=a
f(x)=x^8-a=0
f '(x)=8*x^7
x_neu=x - (x^8-a)/(8*x^7) = (8*x^8)/(8*x^7) - (x^8-a)/(8*x^7) = (7*x^8+a)/(8*x^7)
also
x_neu = (7*x^8+a)/(8*x^7)
x0=1 und a=3:
x1=(7+3)/8=10/8=5/4
x2=1,1723932
x2=1,149017819...
x3=1,147212695...
x4=1,147202691... liefert x4^8=ca 3,00000000627...
Allgemein gilt für die n-.te Wurzel aus a die Näherung:
x_neu = [(n-1)*x^n + a] / [n*x^(n-1)] |
Martin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 11:01: |
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Die Methoden von Heron und Newton kenn ich ja schon, aber da gibt es noch eine andere Methode (Stichwort longhand), mit der man die Wurzeln von Hand berechnen kann (auf eine beliebige Anzahl von Stellen).
Wie zum Beispiel auf der Seite
http://members.aol.com/hempeltino/info/mathe/wurzel/wurzel.htm
(der Mathematiker hieß glaub ich "Neumann" und kannte Verfahren zur Berechnung bis zur siebten Wurzel)
Kennt das vielleicht jemand für "große" Wurzeln? |
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