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Beitrag |
    
natascha3
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 08:04: | 
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Eine Strecke a wird in zwei Teile geteilt.
Das eine Teilstück wird zu einem Quadrat, das andere zu einem Kreis gebogen. In welchem Verhältnis muss man die Strecke teilen, damit die Summe der Flächeninhalte minimal wird?? |
Lerny
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 08:30: |
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Sei UQuadrat=4s und UKreis=2*pi*r, (s Seitenlänge im Quadrat, r Radius) dann gilt
a=4s+2*pi*r => 4s=a-2*pi*r => s=1/4*(a-2*pi*r)
Für die Summe der Flächeninhalte gilt
Ages=AQuadrat+AKreis=s²+pi*r²
=[1/4*(a-2*pi*r)]²+pi*r²
=[1/4*pi²+pi]*r²-1/4a*pi*r+1/16*a²
A'(r)=2*[1/4pi²+pi]*r-1/4a*pi
A'(r)=0
2*(1/4pi²+pi)*r=1/4a*pi
r=a/(2*pi+8)
Mit 2. Ableitung auf Minimum überprüfen!
Jetzt noch s ermitteln:
s=1/4*(a-2*pi*r)=s=1/4*(a-2*pi*a/(2pi+8))=a/(pi+4)
UQuadrat=4s=4a/(pi+4)=0,56a
UKreis=0,44a
mfg Lerny |
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