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neusiedler
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. April, 2001 - 13:57: | 
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hi!
in linearer optimierung war ich noch nie eine leuchte- könnte mir irgendjemand beim aufstellen der gleichungen helfen? gibts da auch eine grafische lösung?
HERZLICHEN DANK :-)
Eine Getränkefirma erzeugt durch Zusammenmischen von Apfelsaft mit Birnensaft die Getränke ,,Apfelgold und ,,Birnengold. ,,Apfelgold" soll zu 3/4 aus Apfelsaft, ,,Birnengold" zu 2/3 aus Birnensaft bestehen. Es stehen 20001 Birnensaft und 30001 Apfelsaft zur Verfügung. ,,Apfelgold' bringt beim Verkauf doppelt so viel Gewinn wie ,,Birnengold". Wieviel 1 muß man von jedem Getränk herstellen, damit ein möglichst großer Gewinn entsteht? |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. April, 2001 - 20:15: |
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Hallo neusiedler,
Wir bezeichnen.
x..........die Gesamtmenge des erzeugten Apfelgoldes (in Litern)
y..........die Gesamtmenge des erzeugten Birnengoldes (in Litern)
Pro Liter Apfelgold brauchen wir: 3/4 l Apfelsaft und 1/4 l Birnensaft.
Pro Liter Birnengold brauchen wir: 1/3 l Apfelsaft und 2/3 l Birnensaft.
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Der Gewinn ist: (2x + y)*G.........G ist Gewinneinheit für Birnengold.
Dies ist unsere Zielfunktion. Sie soll maximal werden.
Weil G irgend ein konstanter Wert (in Euro) ist, muss auch (2x + y)
maximal werden.
Gewinn = 2x + y ==> Maximum..........mathematische Formulierung.
Nebenbedingungen:
Verbrauch an Apfelsaft:
(3/4)*x + (1/4)*y =< 3000........mehr Apfelsaft haben wir nicht
Verbrauch an Birnensaft:
(1/3)*x + (2/3)*y =< 2000........mehr Birnensaft haben wir nicht.
Was meist vergessen wird:
x >= 0
y >= 0..............es können keine negativen Mengen erzeugt werden.
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Zur Lösung dieses Optimierungsproblems bestehen verschiedene Methoden.
In der Schule, glaube ich, wird nur eine graphische Methode gezeigt:
Zeichne für jede Nebenbedingung in ein Koordinatensystem eine Gerade,
also
(3/4)x +y/4 = 3000
x/3 + (2/3)y = 2000
x=0
y=0
Diese Geraden begrenzen eine Fläche (blau in meinem Bild).
Alle Punkte innerhalb der blauen Fläche sind "mögliche" Punkte.
Man kann z.B. x = 1000 l Apfelgold und y=1500 l Birnengold erzeugen.
Alle Punkte außerhalb (gelbes Feld) sind "unmögliche" Punkte.
Man kann nicht x=2000 l Apfelgold und 2500 l Birnengold erzeugen.
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Der gesuchte maximale Gewinn liegt dann immer in einem Eckpunkt
des blauen Feldes.
Welcher dieser Punkte der gesuchte ist, muss man durch Ausrechnen
des Gewinns für alle Eckpunkte ermitteln.
Unsere Eckpunkte sind:
x=0; y=3000; Gewinn= 3000
x=4000; y=0; Gewinn = 8000
x=3428; y = 1286; Gewinn = 8142 Einheiten.
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Die Produktion von 3428 l Apfelgold und 1286 l Birnengold
bringt den maximalen Gewinn.
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neusiedler
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. April, 2001 - 20:42: |
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herzlichen, herzlichen dank für deine hilfe.
jetzt wollte ich nur noch fragen, ob meine nebenbedingungen richtig sind.
hier ist die aufgabe:
min
Ein Schüler muß sich in den Ferien auf Wiederholungsprüfungen in Englisch und Latein vorbereiten. Dazu will er insgesamt mindestens 20 Privatstunden nehmen. Für Latein will er höchstens doppelt so viele Stunden wie für Englisch nehmen, aber auch nicht weniger Lateinstunden als Englischstunden. Eine Privatstunde für Englisch kostet 180 S , eine für Latein 200S, Insgesamt hat er Ersparnisse von 5400 S zur Verfügung. (1) Bei welcher Anzahl von Stunden für Englisch bzw. Latein erwachsen ihm die geringsten Kosten? (2) Wie hoch sind diese?
L+E>=20
L<=2E
L>=E
200L+180E<=5400
und die zielfunktion ist
200L+180E=minimum.
stimmt das???
herzlichen dank und guten abend |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. April, 2001 - 07:33: |
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Hallo neusiedler,
Deine Gleichungen sind perfekt!
Ich habe auch für dieses Beispiel ein Bild gemacht.
Blaue Fläche sind wieder "mögliche Punkte" (feasible points).
Die roten Geraden sind Geraden mit konstanten Kosten.
Eine dieser Geraden tangiert die blaue Fläche im Punkt M: Dies ist der
Punkt für minimale Kosten: E = 10 und L = 10.
Der Schüler gibt dafür 3800 S aus.
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