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joE
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 13:35: | 
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Das Produkt aller Teiler einer natürlichen Zahl n>1 ist n^3 .
Wie viele Primfaktoren kann n haben und wie oft kann jeder Primfaktor vorkommen?
vielen dank für alle hilfe! |
aenigma
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 14:53: |
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ich würd sagen 6 teiler (mit 1)
z ist die fragliche Zahl
1. Teiler : 1
2. Teiler : x
3. Teiler : z/x
4. Teiler : y
5. Teiler : y/z
6. Teiler : z
1*z * y*z/y * x*z/x = z³
jeder Teiler kommt auch nur 1x vor
zum beispiel bei 20 stimmt das |
Joachim
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 16:49: |
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Hey joe,
Willst Du das Board mit Deinen Fragen überschwemmen? |
joE
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 18:48: |
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das wollte ich auch nicht
aber ich mußte schnell sein |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 19:53: |
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Allgemein hat jede folgende Zahl die eigenschaft, dass das Produkt ihrer Teiler ihre dritte Potenz ist: p und q seien Primzahlen; p5 und p*q².
Zunächst beweise ich, dass es mit diesen Zahlen und nur mit diesen klappt:
Teiler von p5: p5, p4, p3, p2, p, 1; deren Produkt: p15=p53
Teiler von p*q²: p*q², q², p*q, q, p, 1; deren Produkt: p3*q23
Baut man zu p5 oder p*q² noch einen Primfaktor dazu, so vergrößert sich die Anzahl der Teiler; wenn man die alten jeweils 6 Teiler betrachtet und zu jedem den neuen Primfaktor dazumultipliziert erhält man die ursprüngliche Zahl in dritter Potenz multipliziert mit der sechsten Potenz der neuen Primzahl, was allein schon größer als die dritte Potenz aus ursprünglicher Zahl und neuer Primzahl ist und dazu noch eine von der Primzahl und den bereits vorhandenen Primfaktoren bestimmte Anzahl von neuen Teiler, die alle größer oder gleich 1 sind und daher das Ergebnis nur vergröser, so dass es keine anderen Möglichkeiten gibt als die genannten; bis auf einige Fälle die noch betrachtet werden sind alle weg: nämlich p*q*r (und von daher auch nicht p*q*r*s... oder p*q*r²...): Produkt der Teiler: (1)*(p)*(q)*(r)*(p*q)*(p*r)*(q*r)*(p*q*r)=(p*q*r)4; und p*q: (1)*(p)*(q)*(p*q)=(p*q)²; und: p4: p42,5; p3: p32; p2: p21,5; p: p1.
Wir haben also gesehen, dass es nur p5 und p*q² sind, deren Teilerprodukt ihre dritte Potenz ist.
Also hat n wie oben schon gesagt 6 Teiler, maximal zwei verschiedene Primfaktoren, und jeder Primfaktor kann maximal 5 mal vorkommen.
Einige Beispiele:
12, 18, 20, 28, 44, 45, 50, 52, 63, 68, 75, 76, 92, 98, 99, ...
32, 243, 3025, ... |
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