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joE
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 12:51: | 
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Hi, ich hab auch ein leichtes Problem und dafür brauche ich einen Beweis:
Die Eckppunkte eines Dreiecks liegen auf den Seiten eines Quadrats.
Welches ist der größtmögliche Flächeninhalt, den ein solches Dreieck haben kann?
danke für alle Hilfe! |
Ralf
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 14:26: |
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Die Dreiecksfläche ist ja gh/2 mit g=Grundseite und h=Höhe, weiterhin sei a die Länge einer Quadratseite.
g kann nicht größer als a sein und auf h kann höchstens so groß wie a sein.
Also wähle zwei Dreiecksecken auf einer Quadratseite, den dritten Eckpunkt irgendwo (beliebig) auf der gegenüberliegenden Quadratseite. Dann ist die Fläche gleich a*a/2=a2/2 also gleich der halben Quadratfläche.
Wir haben also ein Beispiel für das theoretische Maximum gefunden und damit existiert es.
Verstanden? |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 17:28: |
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Wenns so einfach wäre. Eine Seite oder eine Höhe können durchaus größer sein als die Länge einer Quadratseite; nämlich bis zu Ö2*a (Diagonale im Quadrat). Aber wenn die Grundseite länger ist als a, dann ist die Höhe kleiner und umgekehrt; also was ist nun der größtmögliche Flächeninhalt? Er ist tatsächlich 1/2*a², nur beweisen muss man's anders.
Wir nehmen zunächst an zwei Punkte des Dreiecks liegen auf einer Seite, der andere auf der gegenüberliegenden. Als Grundseite nehmen wir den Abstand der ersten beiden Punkte auf der selben Seite. Die Höhe ist dann automatisch die Länge der Quadratseite a. Die Länge der Grundseite ist dann maximal auch a, wenn beide Punkte auf der einen Seite bleiben sollen. Also 1/2*a² als Flächeninhalt.
Dann sollen wieder zwei Punkte auf der einen Seite liegen, der dritte auf einer anliegenden. Wieder nehmen als Grundseite den Abstand der beiden Punkte auf einer Seite, die Höhe ist dann der Abstand vom dritten Punkt zu der Ecke an dem die Seiten zusammenstosen, auf denen alle Punkte liegen. Auch hier gilt wieder, dass Grundseite und Höhe beide Maximal a sein können, wenn sie ihre Seite nicht verlassen sollen. Also wieder 1/2*a².
Nun betrachten wir ein Dreieck, bei dem die Ecken auf drei unterschiedlichen Seiten sich befinden; dabei sollen die drei Punkte echt auf verschiedenen Seiten liegen, also nicht so, dass sie an den Ecken einer Seite liegen, aber einer oder beide Punkte zu einer anderen Seite gezählt wird.
Nun führt man ein Koordinatensystem ein und legt das Quadrat so rein (durch drehen und verschieben; diese Prozesse lassen die Fläche invariant), dass eine Ecke des Quadrats im Ursprung liegt, eine Seite, auf der ein Punkt - A - auf der positiven x-Achse liegt und eine Seite, auf der ein Punkt - B - auf der positiven y-Achse liegt; der dritte Punkt - C - liegt irgendwo anders auf dem Quadrat. Nun sei AB die Grundseite. Die Höhe ist dann der Abstand C zur Geraden durch die Punkte A und B. Alle Punkte die mit A und B ein Dreieck der selben Fläche bilden, wie ABC liegen auf einer Parallelen zu AB (Dabei ist nur der Schnitt der Parallelen mit dem Quadrat ein möglicher Punkt C, so dass die Ecken des Dreiecks auf em Quadrat liegen). Nun schiebt man diese Parallele soweit wie möglich von AB (und zwar auch soweit wie möglich vom Ursprung) weg, dass die Paralle gerade noch einen Punkt mit dem Quadrat gemeinsam haben. Da AB weder zur x- noch zur y-Achse parallel sein kann (beachte, wie ich das Quadrat indas Koordinatensystem gelegt habe und wie ich ein Dreieck, dessen Punkte auf verschiedenen Seiten definiert habe), muss dieser Schnittpunkt Die Ecke des Quadrates sein, die auf keiner Koordinatenachse liegt. Man kann nun jedes beliebige Dreieck (das die obigen Voraussetzungen erfüllt) auf diese Weise maximieren. A habe die Koordinaten (M,0), B (0,N) und C automatisch (a,a). Betrachtet man die Dreiecke, die nicht zum Flächeninhalt des gesuchten Dreiecks beitragen, so ist dieser:
1/2*(a-N)*a+1/2*a*(a-M)+1/2*N*M=
1/2*(a-M)*(a-N)+1/2*a²
da M und N beide kleiner oder gleich als a sind, muss der erste Summand stets größer oder gleich 0 sein. Das heist, dass der "Abfall" - die Fläche des Quadrates die nicht zum gesuchten Dreieck gehört - stets größer oder gleich 1/2*a² ist; die maximale Fläche des Dreicks ist daher nicht größer als 1/2*a².
Ein Beispiel für ein maximales Dreieck ist z.B. zwei Punkte auf den Ecken einer Seite des Quadrats und die dritte Ecke auf der gegenüberliegenden Seite. |
joE
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 17:32: |
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Vor allem vielen dank!
Das war alles, was ich wissen wollte.
Und jetzt habe ich eine zweite Frage aber nur wenn du antworten willst?
eine Frage über Primfaktoren ? |
Lisbeth
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 18:02: |
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Hi joE,
Öffne bitte bei neuen Fragen einen neuen Beitrag. |
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