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Mathemaik-Olympiade 9.Klasse

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Jenny
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Veröffentlicht am Dienstag, den 16. November, 1999 - 21:45:   Beitrag drucken

Helft mir BITTE diese Aufgaben zu lösen, bin schon langsam am verzweifeln.....

Aufgabe 390921
Welche Paare (a, b) natürlicher Zahlen a und b erfüllen die Gleichung 19*a + 99*b?

Aufgabe 390922
Man beweise, dass für jede natürliche Zahl n > 3 die Ungleichung n³ > 2*(n+1)² gilt!

Aufgabe 390923
Gegeben seien ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a und ein beweglicher Punkt X auf der Diagonalen DB. Der Fußpunkt des Lotes von X auf AB sei E, der Fußpunkt des Lotes von X auf DA sei F.
Man beweise:
(a) Die Summe der Längen der Strecken XE und XF ist gleich a.
(b) Die Strecken CF und DE sind einander gleichlang und stehen aufeinander senkrecht.
(c) Die Strecken CX und DE sind einander gleichlang und stehen aufeinander senkrecht.
(d) Die Gerade CX geht durch den Schnittpunkt der Strecken BF und DE.

Aufgabe 390924
Gegeben sei ein konvexes Viereck ABCD mit den Seitenlängen a, b, c und d und den Diagonalen e und f. Die Größe u = a + b + c + d ist dann der Umfang des Vierecks.
Man beweise: u < 2*(e+f) < 2u.
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Stefan
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Veröffentlicht am Dienstag, den 16. November, 1999 - 22:37:   Beitrag drucken

Aufgabe 390921 ist doch keine Gleichung....

Aufgabe 390922: Hört sich nach einem Induktionsbeweis an. Erster Schritt: Zeige, daß die Behauptung für die Zahl 4 zutrifft. Zweiter Schritt: Zeige, daß wenn die Behauptung für eine Zahl n zutrifft, sie auch für die Zahl n+1 zutrifft....fertig.

4³ = 64
2*(5)² = 50 , also stimmt's hier schon mal.

(n+1)³ = n³+3n²+3n+1
2*((n+1)+1)² = 2*((n+1)²+2(n+1)+1)= 2*(n+1)²+2*(2(n+1)+1) = 2*(n+1)²+(4n+6)
Beim Übergang von n nach n+1 nimmt die linke Seite um 3n²+3n+1 zu, die rechte um 4n+6 und dieser Zuwachs ist eben bereits ab dem Startwert 4 links größer als rechts...

Gruß Stefan
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Jenny
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 1999 - 16:12:   Beitrag drucken

Die Gleichung bei Aufgabe 1 soll lauten:
19*a + 99*b = 1999
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Stefan
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 1999 - 16:57:   Beitrag drucken

a = 1999/19 - 99b/19 ist die Bedingung.

Einfach für b was einsetzen, dann hast Du ein passendes a.

Gruß Stefan
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Stefan
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 1999 - 16:59:   Beitrag drucken

Achso: einfachste Lösung ist a=100, b=1 ...

Ciao Stefan
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Lydia's Schwester
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 1999 - 18:00:   Beitrag drucken

Hallo Jenny,
eine Gleichung mit 2 Varablen kann als Lösung
viele Zahlenpaare haben. Hier erfolgt die Einschränkung auf nat. Zahlen.
Stellst nun diese Gleichung nach a bzw. b um, um dann mit einer Wertetabelle Lösungapaare zu
finden, ein fast sinnloses Unterfangen.
(1999-19)=1980
1980:99=20
Daraus ergibt sich das Paar (1;20) als Lösung.
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Jenny
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. November, 1999 - 16:23:   Beitrag drucken

Danke, dass ihr mir helft!!! Ich kann die Aufgaben zwar bestimmt auch selber nach langer Überlegeung, aber ich hab in den nächsten Wochen halt nicht so viel Zeit!!
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Jenny
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 1999 - 15:54:   Beitrag drucken

AN STEFAN!!!!!!!
Ich kann irgendwie nicht so ganz nachvollziehen, wie du bei der 2.Aufgabe auf (n+1)³ = n³+3n²+3n+1 und 2*[(n+1)+1]² = 2*[(n+1)²+2*(n+1)+1] = 2*(n+1)²+2*[2(n+1)+1] = 2*(n+1)²+(4n+6) gekommen bist!!! Bin ich zu blöd?? Mail mir mal...
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Carsten
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Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 1999 - 11:02:   Beitrag drucken

Hallo Jenny:
Zum nachvollziehen die beiden Formeln nochmal (^ steht fuer hoch)
(n+1)^3=(n+1)(n+1)(n+1)=(n^2+2n+1)(n+1)=n^3+3n^2+3n+1
Fuer die naechste Gleichung setzen wir (n+1)=x:
2((n+1)+1)^2=2(x+1)^2=2x^2+4x+2
Nun tauschen wir wieder (n+1) mit x:
2(n+1)^2+4(n+1)+2=2(n+1)^2+4n+4+2=2(n+1)^2+4n+6
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rainbow
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Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 14:37:   Beitrag drucken

Zu 4)

Man benutze nur konsequent die Dreiecksungleichungen
a+b>c
a+c>b
b+c>a
siehe da...

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