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Wie geht das nur?

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ena (Ena_De)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 03. April, 2001 - 19:08:   Beitrag drucken

Bestimme in dem Term f(n)=a*n³+bn²+c*n+d die Beizahlen a,b,c,d so, dass f für n=1 die 1. Dreieckszahl liefert, für n=2 die 2. Dreieckszahl usw.

zusätzliche Informationen:
Dreieckszahlen:
a1=1
a2=3
a3=6
a4=10 usw.
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Martin (Martin243)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 03. April, 2001 - 20:06:   Beitrag drucken

Ansatz (lineares Gleichungssystem mit 4 Unbekannten) :

13*a + 12*b + 11*c + d = 1
23*a + 22*b + 21*c + d = 3
33*a + 32*b + 31*c + d = 6
43*a + 42*b + 41*c + d = 10


a + b + c + d = 1
8a + 4b + 2c + d = 3
27a + 9b + 3c + d = 6
64a + 16b + 4c + d = 10


Wir lösen dieses Gleichungssystem (ist recht simpel) und erhalten:

a = 0
b = 0,5
c = 0,5
d = 0

Also:
f(n) = 0,5n2 + 0,5n = n(n+1)/2

(Das ist ja die Formel zur Berechnung der Summe der ersten n natürlichen Zahlen.)

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