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Grentzwertaufgabe??

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 8-10 » Algebra » Sonstiges » Grentzwertaufgabe?? « Zurück Vor »

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Fuzzylogik
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Veröffentlicht am Samstag, den 13. November, 1999 - 00:04:   Beitrag drucken

Challo!

Gegeben ist ein Quadrat. Wie sieht es aus, wenn man jeweils 1/4 der Fläche des Quadrates, dann 1/4 der Fläche dieses Quadrates, und dann wieder 1/4 der Fläche dieses Quadrates addiert? Kommt man irgendwann auf die Fläche des ursprünglichen Quadrates?

Kann doch nicht sein, weil ja zwar die Anzahl der zu addierenden Flächen gegen unendlich geht, aber deren Fläche auch gegen unendlich geht!

Wie geht das aber rechnerisch?
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Anonym
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Veröffentlicht am Samstag, den 13. November, 1999 - 08:57:   Beitrag drucken

Die Frage ist: Welche Entwicklung verläuft schneller, die Anzahl der Summanden oder die verringerung der Fläche (Diese geht gegen Null und NICHT gegen Unendlich!) ???

Wir haben die Reihe 1/4 + 1/16 + 1/64 +...

Ich habe gerade keine Lösung dafür parat, aber sicherlich ist der Grenzwert dieser Summe NICHT eins....also erhält man kein komplettes Quadrat.
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Jens
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Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 1999 - 00:05:   Beitrag drucken

Hallo,
es liegt die Reihe 1+1*1/4+1*1/4²+1*1/4³...=1+1/4+1/16+1/64+1/256... vor.
Wenn man die Summe einer unendlichen Reihe errechnen möchte, so muss man das Anfangsglied der Reihe durch 1 minus des "Reihenvorschriftsfaktors" dividieren. In einer Formel ausgedrückt, wobei a für das erste Glied einer Reihe (was auch z.B. 2³+4 sein kann und nicht nur eine einzige Zahl) und q für die "Reihenvorschrift" stehen, sieht das so aus:
S = a / ( 1 - q )
Dies gilt unter der Bedingung |q|<1.
Eingesetzt heißt das (das erste Element der Reihe lautet 1, da das Quadrat selbst mitzählt und die Vorschrift heißt "multipliziere mit 1/4", also ist q = 1/4):
1 / ( 1 - 1/4 ) = 1 / 3/4 = 4/3 = 1 1/3
Die Reihe (es ist übrigens die Archimedische Reihe) konvergiert zu 1 1/3.

Ich hoffe es ist alles richtig!
Jens

P.S.: Diese Regel leitet man aus der Summenformel für die geometrische Progression her.
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Fuzzylogik
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Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 1999 - 09:59:   Beitrag drucken

Hallo! Das ist aber was! Die Summe der Teilflächen erreicht also doch die Fläche des Ausgangsvierecks, geht sogar darüber hinaus! Danke!
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Jens
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Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 1999 - 21:19:   Beitrag drucken

Hallo Fuzzylogik,
ich bin es nochmal. Ich konnte nicht genau ersehen, ob das Quadrat selbst in der Reihe mitzählt. Falls nicht, lautet die der Grenzwert nicht 1 1/3 sondern nur 1/3. Aber die Formel weißt Du ja.
Schreibe bitte, welche Lösung richtig ist.
Jens
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Fuzzylogik
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Veröffentlicht am Montag, den 15. November, 1999 - 21:41:   Beitrag drucken

Hallo Jens!

Das erste Quadrat zählt ja mit. Deshalb ist es dann 1 1/3. Nur, also eigentlich können die Summen der Fläche doch nicht die Ausgangsfläche erreichn, oder? Aber wenn 1 1/3 herauskommt, dann wird es ja sogar noch mehr als die Fläche des Ausgangsdreiecks!
XXFuzzylogikXX
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Fuzzylogik
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Veröffentlicht am Montag, den 15. November, 1999 - 21:43:   Beitrag drucken

Hi Jens, noch was: hast Du schon meine Abschreibungsaufgabe gesehen? Die steht genau unter dieser Rubrik. Das betrifft auch Folgen&Reihen! Vielleicht interessiert es dich auch!
XXFuzzylogikXX

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