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schaf
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. März, 2001 - 19:13: | 
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Tach!
Aufgabe:
Das Parallelogramm ABCD mit A(0/0), B(6/0), C(4/4) soll durch Scherung mit der x-Achse als Scherungsachse in eine flächengleiche Raute verwandelt werden. Löse die Aufgabe zunächst geometrisch und berechne dann den Scherungswinkel und die Koordinaten der Eckpunkte der Raute.
Ich brauch gaaaaanz dringend die Rechnung bis morgen. Please! Helft mir!
Thanks.
bye |
kim
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. März, 2001 - 15:43: |
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Hallo Schaf, war etwas knapp die Zeit. Besser schon Freitags nachmittags melden für Montags ...
Brauchst Du sie trotzdem noch? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. März, 2001 - 21:16: |
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Hi Schaf ,
Deine Aufgabe gefällt mir so gut, dass ich nicht umhin
komme, sie zu lösen, auch wenn die Frist schon längst
abgelaufen ist, wie bereits Kim bemerkte,
Wir holen ein wenig aus.
1.
Ich fasse "Raute" als Synonym für das gängigere Wort
"Rhombus" auf.
2.
Begriff der Scherung und des Scherungswinkels
( nicht zu verwechseln mit dem Begriff Shareholder ! )
Eine Scherung ist eine spezielle affine Abbildung der Ebene
auf sich, bei welcher die Affinitätsrichtung parallel zur
Affinitätsachse a verläuft.
Genauer gilt für einen Originalpunkt P und den zugehörigen
Bildpunkt:
I. Liegt P auf a ,dann ist P' = P
II. Liegt P nicht auf a , so gilt:
i) die Gerade P P' ist parallel zu a .
ii) ist F der Fusspunkt des Lotes von P auf a, so ist:
Winkel (PFP') = phi ; dabei wird phi von PF aus
im Uhrzeigersinn positiv genommen.
Bei einer Scherung bleibt der Flächeninhalt einer Figur invariant.
Lösung der Aufgabe.
Alle Daten und Zwischenresultate tragen wir in ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein (Einheit 1 cm ).
Die Ecken sind : A(0/0), B(6/0) ,C(4/4), D(-2/4)
Eine gewichtige Rolle spielt der Mittelpunkt S(2/2) des
Parallelogramms, der sich als Schnittpunkt der Diagonalen AC
und BD ergibt.
Da A und B auf der Affinitätsachse a liegen, gilt A ' = A , B' = B
Die Diagonalen A' C ' = A C ' und B' D' = B D' des Rhombus
stehen im Punkt S' aufeinander senkrecht.
Daher liegt S' auf dem Thaleskreis k mit AB als Durchmesser
Dieser Kreis k ist somit der Kreis mit Mittelpunkt M(0/3)
und Radius 3 Seine Gleichung lautet: (x - 3 ) ^ 2 + y ^ 2 = 9
oder vereinfacht :
y ^ 2 = 6 x - x ^ 2....................................................................(GL i)
Da wegen der Scherung die Gerade S S ' parallel zur
Affinitätsachse a, d.h. zur x-Achse, sein muss, ist S '
der Schnittpunkt der Geraden mit der Gleichung y = 2 mit k ;
es gibt zwei solche Schnittpunkte !
Setzen wir y = 2 in die Kreisgleichung ein , so erhalten wir
die x-Werte von S ', nämlich:
x1 = 3 - wurzel(5) als "linke" Lösung und
x2 = 3 + wurzel(5) als "rechte" Lösung
Trennung der Fälle
A]
Die "linke" Lösung mit S ' ( 3 - wurzel(5) / 2 )
Wir ermitteln zuerst den Scherungswinkel
(bitte in der Figur eintragen!) mit Hilfe des bei S rechtwinkligen
Dreiecks S ' S F, wobei F(2/0) auf der x-Achse senkrecht unter S liegt.
Es gilt tan (phi ) = tan(S ' F S) = [2 - (3 - wurzel(5) ] / 2
= (wurzel(5) -1 ) / 2 ; daraus phi ~ 31.72°
Bemerkenswertes Resultat:
Der Term für tan(phi) tritt bei der Teilung nach dem
goldenen Schnitt auf.
Ermittlung der Koordinaten der Ecken C ' und D ' des Rhombus:
C ' ergibt sich aus der Tatsache, dass S' der Mittelpunkt der Strecke
A C ' ist.
Die x , y - Koordinaten von S ',die wir ja kennen ,
sind die arithmetischen Mittel der entsprechenden Koordinaten
der Endpunkte A und C'.
Resultat :
C ' (6 - 2 * wurzel(5) / 4).
D ' ergibt sich aus der Tatsache, dass S' der Mittelpunkt der Strecke
B D ' ist.
Die x , y - Koordinaten von S ' sind die arithmetischen Mittel der entsprechenden Koordinaten der Endpunkte B und D '.
Resultat :
D ' (- 2 * wurzel(5) / 4)
B]
Die "rechte" Lösung mit S ' ( 3 + wurzel(5) / 2 )
Wir ermitteln zuerst den Scherungswinkel
(bitte in der Figur eintragen!) mit Hilfe des bei S rechtwinkligen
Dreiecks S ' S F, wobei F(2/0) auf der x-Achse senkrecht unter S liegt.
Es gilt tan (phi ) = tan(S ' F S) = [ 3 + wurzel(5) - 2 ] / 2
= (wurzel(5) + 1 ) / 2 ; daraus phi ~ 38,97°
Bemerkenswertes Resultat:
Der Term für tan(phi) tritt ebenfalls bei der Teilung nach dem
goldenen Schnitt auf.!
Ermittlung der Koordinaten der Ecken C ' und D ' des Rhombus:
C ' ergibt sich aus der Tatsache, dass S' der Mittelpunkt der Strecke
A C ' ist.
Die x , y - Koordinaten von S ',die wir ja kennen ,sind die
arithmetischen Mittel der entsprechenden Koordinaten der
Endpunkte A und C '
Resultat :
C ' (6 + 2 * wurzel(5) / 4).
D ' ergibt sich aus der Tatsache, dass S' der Mittelpunkt der Strecke
B D ' ist.
Die x , y - Koordinaten von S ' sind die arithmetischen Mittel der entsprechenden Koordinaten der Endpunkte B und D'
Resultat :
D ' ( 2 * wurzel(5) / 4)
Das sollte genügen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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