| Autor |
Beitrag |
    
Unknown
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 15:34: | 
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Hi!
Also neulich hab ich ein Tutorial gelesen in dem folgende Aussage stand:
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
wie kommt man darauf?
Bitte helft mir!!! Ich muss das unbedingt wissen!!!
MfG Unknown |
Niels
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 16:09: |
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Hallo Unknown,
Was du das gelesen hast ist das Sinus-Additionstheorem.
Für das Sinus-Additionstheorem sind mir alleine 3 Beweise bekannt. Du findest aber auch Beweise für dieses Theorem im Achiv.
Gruß N. |
Unknown
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 19:28: |
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Hi Niels!
Vielen Dank! Ich hab deinen anderen Beitrag über das Sinus-Additionstheorem gelesen! Du hast das echt gut erklärt so dass man nich erst zehntausend Mal die ganze Sache durchrackern muss bevor man ein Wort versteht!  Ähm eine Frage hätte ich noch...wie kann man eigentlich
r=a/2*sin(alpha)
nachweisen?!
MfG Unknown |
Unknown
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 19:54: |
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Ähm ich hab noch was vergessen! Also
warum
a/2*sin(alpha)=b/2*sin(beta)=c/2*sin(gamma)
ist hab ich schon selbst herausgefunden!
Ich will also nur wissen wie man auf das r schließen kann!
MfG Unknown |
Niels
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 20:19: |
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Hallo Unknown,
r=(a/2)*sin(alfa)
folgt aus dem Sinussatz, der wiederum mit dem "Randwinkelsatz" bewiesen werden kann. Ein Beweis des Sinussatzes unter Verwendung des Randwinkelsatzes findest du ebenfals im Achiv. Solltest du ihn nicht finden melde dich nochmal, dan beweis habe ich ebenfals auf Abruf vorrätig.
Gruß N. |
Niels
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 20:22: |
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Hallo Unknown,
r=(a/2)*sin(alfa)
folgt aus dem Sinussatz, der wiederum mit dem "Randwinkelsatz" bewiesen werden kann. Ein Beweis des Sinussatzes unter Verwendung des Randwinkelsatzes findest du ebenfals im Achiv. Solltest du ihn nicht finden melde dich nochmal, dan beweis habe ich ebenfals auf Abruf vorrätig.
Gruß N. |
Unknown
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 14:08: |
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Hi Niels!
Okay wo find ich den Beweis?! Ich muss alles rausfinden!!! )
MfG Unknown |
Unknown
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 15:21: |
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Hi Niels!
Ich hab den Beweis vorhin schon gefunden! Nochmals danke! Ähm kannst du mir noch den Beweis für das Cosinus Additionstheorem besorgen?!
MfG Unknown |
Niels
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 17:06: |
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Hi Unknown,
natürlich hab ich auch den Beweis (die Beweise) für das Cosinus-Additionstheorem vorrätig.
Du hast die wahl:
1) Algebraischer Beweis (über Sinus-Additionstheorem)
2) Beweis per "drehgleichungen"
3) Beweis am Einheitskreis (geometrisch)
Methode 1) ist die schnellste aber nicht "elegant".
Methode 2)
Relativ einfach und elegant. (Wenn du die Drehgleichungenm nicht kennen solltest leite ich sie dir ebenfals her)
Methode 3)
Recht kompliziert durch aufwendige zeichnung, aber ebenfals recht elegant.
1,2 oder 3 Nun fälle die Entscheidung.
Gruß N. |
Unknown
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 17:16: |
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Ähm ich nehm...ähm die 2!!! *lol*
Jo die nehm ich! |
Niels
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 20:02: |
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Hallo Unknown,
gerne...
Brauchst du auch die Herleitung der "Drehgleichungen" ?
oder soll ich mit dem Beweis gleich beginnen?
Gruß N. |
Unknown
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 09:22: |
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Hi Niels!
Ja mach mal gleich noch die Drehgleichungen, wenn wir schon mal dabei sind...
Danke dir!
MfG Unknown |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 11:43: |
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Hi Unknown,
dann lasse uns beginnen....
Ich hoffe du kannst meineb schlechte Skizze erkennen:
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Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 12:18: |
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Hi Unknown,
dann lasse uns beginnen....
Ich hoffe du kannst meineb schlechte Skizze erkennen:
Der Ansatz ist folgender:
Um die "Drehgleichungen zu beweisen drehen wir ein Rechteck um dem Winkel phi im Kartesischen Koordinatensystem. Da wir die Eckpunkte vdes Rechtecks (O,Q,P,R) teilweise gechickt auf die X bzw Y-Achse gelegt vhaben interressiert uns nur der Punkt p . Besser gesagt die Koordinaten von P, schließlich wollen wir ja schauen wie sich die koordinaten von P durch das Drehen ändern.
Bezeichnungen:
Punkte:
O;Q;P;R...Eckpunkte des Ursprungsrechteck
O';Q';P'R'...Eckpunkte des um phi gedrehten Rechtecks
D;E;F;G....Lotfußpunkte von den Eckpunkten des gedrehten Rechtecks auf die X, bzw Y-Achse.
O=O'
phi(f)...Drehwinkel
Strecken:
OQ=O'Q'=x
OD=o'D=GQ'=xQ'
DQ'=OG=O'G=yQ'
OR=O'R=OR'=O'R'=y
EO=EO'=R'F=-xR'
R'E=F0=F0'=yR'
Dann fange mal an zu zeichnen...
Gruß N. |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 12:26: |
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Hi Unknown,
dann lasse uns beginnen....
Ich hoffe du kannst meineb schlechte Skizze erkennen:
Der Ansatz ist folgender:
Um die "Drehgleichungen zu beweisen drehen wir ein Rechteck um dem Winkel phi im Kartesischen Koordinatensystem. Da wir die Eckpunkte vdes Rechtecks (O,Q,P,R) teilweise gechickt auf die X bzw Y-Achse gelegt vhaben interressiert uns nur der Punkt p . Besser gesagt die Koordinaten von P, schließlich wollen wir ja schauen wie sich die koordinaten von P durch das Drehen ändern.
Bezeichnungen:
Punkte:
O;Q;P;R...Eckpunkte des Ursprungsrechteck
O';Q';P'R'...Eckpunkte des um phi gedrehten Rechtecks
D;E;F;G....Lotfußpunkte von den Eckpunkten des gedrehten Rechtecks auf die X, bzw Y-Achse.
O=O'
phi(f)...Drehwinkel
Strecken:
OQ=O'Q'=x
OD=o'D=GQ'=xQ'
DQ'=OG=O'G=yQ'
OR=O'R=OR'=O'R'=y
EO=EO'=R'F=-xR'
R'E=F0=F0'=yR'
Dann fange mal an zu zeichnen...
Gruß N. |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 13:18: |
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Hi unknown,
sorry das das mit der skizze nicht sofort geklappt hat-Tschä-aber nun kann es losgehen...
Betrachte Dreieck ODQ' :
Es gilt:
cos(f)=xQ'/x =>xQ'=x*cos(f)
sin(f)=yQ'/x =>yQ'=x*sin(f)
Nun betrachten wir das Dreieck OR'E:
Es gilt:
sin(f)=-xR'/y =>-xR'=y*sin(f)=>xR'=-y*sin(f)
cos(f)=yR'/y =>yR'=y*cos(f)
Für die Koordinaten des Punktes P' gilt:
xP'=xQ'+xR'
yP'=yQ'+yR'
D.h.
xP'=x*cos(f)-y*sin(f)
yP'=x*sin(f)+y*cos(f)
==============================================
Das sind die Drehgleichungen:
Satz:
Dreht man einen Punkt P(x,y) um einem Winkel f so gilt für die neuen Koordinaten von P'(XP';yP')
xP'=x*cos(f)-y*sin(f)
yP'=x*sin(f)+y*cos(f)
=============================================
Gruß N. |
Unknown
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 18:03: |
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Hi Niels!
Ich glaub ich hab alles verstanden!
Ähm eigentich war das auch schon alles was ich wissen wollte! Trotzdem kannst du mir ja noch den Beweis für das Cosinus Additionstheorem zeigen!!! Wenn ich das richtig verstanden habe dann ist diese Gleichung für eine Drehung im entgegengesetzten Urzeigersinn ich müßte also nur das + mit - und das - mit dem + austauschen und ich würde die Punkte im positiven Uhrzeigersinn rotieren...stimmts?
Okay erstmal vielen vielen Dank an dich!!!! Du warst mir wirklich eine große Hilfe! Jetzt werde ich damit beginnen eine eigene 3D Engine zu entwickeln...jetzt weiß ich ja wie man objekte rotiert!
MfG Unknown |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 18:55: |
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Hi unkown,
erstens muß ich sagen, das mein Beweis der Drehgleichungen nicht perfekt ist. Theoretisch müßten diese Gleichungen noch für stumpfe, überstumpfe und negative Drehwinkel bewiesen werden.Die Gleichungen änderen sich aber nicht.
zwitens ist zu beachten, das für negative f gilt.
sin(-f)=-sin(f)
cos(-f)=cos(f)
Der Trick für die Additionstheoreme ist der, das wir ein Punkt P(x;y) auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten x=cos(a);y=sin(a) um einem weiteren Winkel b gedreht wird.Der neue Punkt P', dessen Koordinaten P'(x';y') mit dem koordinaten für x'=cos(a+b);y'=sin(a+b) durch die Drehgleichungen ergeben sich die Formeln für die Additionstheoreme
cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)
sin(a+b)=cos(a)*sin(b)+sin(a)*cos(b)
==================================================
Gruß N. |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 19:02: |
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Ach und noch was unknown,
diese Formeln gelten nur für die Drehung eines Punktes P im 2D-Koordinatensystem!!!
Im 3D-Koordinatensystem gelten diese Gleichungen nicht.Also fals ich das mit dem 3D Engine richtig verstanden habe...
Oder willst du den Punkt nicht in 3D drehen?
Gruß N. |
Unknown
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. März, 2001 - 18:47: |
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Hi Niels!
Naja im Prinzip will ich den Punkt in 3D drehen!
Doch dazu benötige ich nur die Drehgleichungen!
Keine Vektoren oder sowas!In 3D betrachte ich ja immer nur 2 Achsen bei der Rotation! Wenn ich um die Z-Achse drehe dann berechne ich eben nur die Werte für x' und y' Wenn ich um die Y-Achse drehe dann berechne ich eben nur die Werte für x' und z'!! Ich hab es also immer nur mit 2 Achsen zu tun! Eigentlich drehe ich ja den Punkt nur in 2D wenn ich nur 2 Achsen habe.
Also nochmals Danke!!!
MfG Unknown |
Drehgleichung
