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Beitrag |
    
mimi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Oktober, 2002 - 17:44: | 
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Wer kann mir helfen? Danke!! Hatte in der letzten Frage einen Schreibfehler hier die richtige Aufgabe:
Bestimmen Sie die Gleichung einer Parabel mit dem Scheitel S so, dass sie durch den Punkt P geht.
a) S(2/1) P(0/4)
b) S(-1/0) P(1/3) |
Andi (andreas_)
Mitglied
Benutzername: andreas_
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Oktober, 2002 - 19:37: |
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Hallo Mimi!
Eine Parabel hat folgende Gestalt:
a*x²+b*x+c=y
Da wir zwei Punkte gegeben haben (2|1) und (0|4), können wir diese Werte für x und y einsetzen. Dadurch erhalten wir 2 Gleichungen:
1) a*2²+b*2+c=1
2) a*0²+b*0+c=4
Da der Punkt S ein Scheitelpunkt ist, müssen wir die 1. Ableitung bilden und auf 0 setzen und gleichzeitig für x=2 einsetzen. Das ist dann die 3. Gleichung:
3) 2*a*2+b=0
Nun können wir dieses Gleichungssystem ausrechnen:
2) 0*a+0*b+c=4 => c=4
1) 4*a+2*b+4=1
3) 4*a+b=0 |-b
3) 4*a=-b
3) b=-4*a
=> in die Gleichung 1) einsetzen:
1) 4*a+2*-4*a+4=1 |-4
1) 4*a-8*a=-3
1) -4*a=-3 |/-4
1) a=0,75
in die Gleichung 3) einsetzen:
3) b=-4*0,75
3) b=-3
a=0,75; b=-3; c=4
Die Gleichung der Parabel sieht so aus:
0,75*x²-3*x+4=y
b) Auch in diesem Fall sind 2 Punkte gegeben, von denen wir x und y einestzen können:
1) a*(-1)²+b*-1+c=0
1) a-b+c=0
2) a*1+b*1+c=3
2) a+b+c=3
Und auch in diesem Fall bilden wir die 1. Ableitung und setzen sie auf 0 und x und y vom Punkt S ein:
3) 2*a*-1+b*-1=0
3) -2*a-b=0 |+b
3) b=-2*a
=> in die anderen Gleichungen einsetzen:
1) a-(-2*a)+c=0
1) a+2*a+c=0
1) 3*a+c=0 |-(3*a)
1) c=-3*a
2) a-2*a+c=3
2) -a+c=3
2) -a-3*a=3 (aus der Gleichung 1) eingesetzt)
2) -4*a=3 |/(-4)
2) a=-0,75
=> in die Gleichung 1 und 3) einsetzen
1) c=-3*-0,75
1) c=2,25
3) b=-2*-0,75
3) b=1,5
a=-0,75; b=1,5; c=2,25
Die Gleichung der Parabel sieht also so aus:
-0,75*x²+1,5*x+2,25=y
Ich hoffe, ich konnte Dir damit helfen.
Liebe Grüße -
Andi
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Florian B. (florian_b)
Neues Mitglied
Benutzername: florian_b
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Januar, 2003 - 21:41: |
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Ich habe mir die Gleichung mal angesehen und denke das da ein Fehler aufgetreten ist.Deine Gleichung ist dann richtig, wenn der Punkt P der Scheitelpunkt wäre.
Oder habe ich mich da getäuscht |
BÄN (narv)
Junior Mitglied
Benutzername: narv
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Januar, 2003 - 02:15: |
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Meint ihr, in der 8. bis 10. klasse macht man schon ableitungen ???
is nur so ne kleine Randbemerkung
ich denke die dritte gleichung wäre hier wohl besser über die scheitelpunktsform der
parabelgleichung zu finden:
nämlich :
aX²+bX+c=Y |durch a teilen
=> X²+(b/a)X+c/a=Y/a
nun wird mit hilfe der quadratischen ergänzung eine binomische formel bestimmt, so dass folgt :
X²+(b/a)X+(b/2a)²-(b/2a)²+c/a=Y/a
=> (X+b/2a)²+(c/a-b/2a)=Y/a
und damit haben wir die scheitelpunktsfom
(X-Sx)²+Sy=Y ( das 1/a muss nur noch richtig verwertet werden)
Es würde für die dritte gleichung folgen:
(2+b/2a)²+(c/a-b/2a)=1/a
und es geht noch einfacher:
S(2/1),P(0/4)
denn mit der scheitelpunktform kann man alles weitere bestimmen.
a(X-Sx)²+Sy=Y sei die Scheitelpunktsform.
Setzt man S für Sx und Sy ein, so folgt direkt:
a(X-2)²+1=Y
und setzt man dort S für X und Y ein so bemerkt man die richtigkeit der Aussage !!!
Da nun P auch die Gleichung erfüllen soll, setzt man einfach Px für X ein und Py für Y:
a(0-2)²+1=4
=> 4a+1=4 => a+1/4=1 => a=3/4
Also ist unsere Gleichung :
3/4(X-2)²+1=Y
oder wie man es sonst gewohnt ist:
3/4X²-3X+4=Y siehe oben
analog ( also genauso ) für b)
noch zu florian:
wenn du die beiden von andreas berechneten gleichungen in die Scheitelpunktsform umformst, so wirst du sehen, dass die scheitelpunkte der errechneten Parabeln die gewünschten sind .
gruesse ben
(Beitrag nachträglich am 04., Januar. 2003 von narv editiert) |
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