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Beitrag |
    
peter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 20:37: | 
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wer kann mir helfen?
Berechne den Schnittwinkel der Geraden g mit dem Kreis k:
g: 2 x + y - 4 = 0
k: x² + y² + 4 x - 6 y = -3
Ergebnis: 45°
Rechne schon längere Zeit herum und komme nicht auf die 45°. Hilfe!!!!! |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 168
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Oktober, 2002 - 00:21: |
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Hallo,
hast du schon die Schnittpunkte berechnet?
Diese sind S1(1|2) und S2(-1|6) [y = -2x + 4 in die Kreisgleichung einsetzen]. Die Schnittwinkel in beiden Punkten sind infolge Symmetrie gleich, also genügt die Rechnung beispielsweise in S1.
Du brauchst dort (in S1) den Anstieg der Kreistangente. Dieser ist gleich dem Wert der 1. Ableitung an dieser Stelle.
Schön geht dies, wenn man in der Kreisgleichung implizit ableitet:
x² + y² + 4x - 6y = -3 | diff. nach x
2x + 2y*y' + 4 - 6y' = 0 (y' kommt wegen der Kettenregel)
x + y*y' + 2 - 3y' = 0
y' = (x + 2)/(3 - y) .. Koord. v. S1 einsetzen
y'(S1) = 3, das ist die Steigung der Kreistangente in S1 --> kt = 3
Wenn dir diese Methode nicht zusagt, geht es auch, indem man zunächst den Mittelpunkt des Kreises mittels der quadratischen Ergänzung bestimmt:
x² + 4x + 4 + y² - 6y + 9 = -3 + 4 + 9
(x + 2)² + (y - 3)² = 10 --> M(-2|3)
Vektor MS1 = (3;-1), Tangentenvektor steht darauf senkrecht --> T-Vektor = (1;3) --> kt = 3
Nun die Formel f. d. Schnittwinkel:
tan(w) = (k2 - k1)/(1 + k1*k2)
k2 = kt = 3, k1 = -2 (Steigung der Geraden)
tan(w) = 5/(1 - 6) = -1
w = arctan(-1)
w = 135° bzw. 45°!
Gr
mYthos
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Peter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Oktober, 2002 - 07:09: |
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danke mYthos |
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