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ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 8-10 » Sonstiges » Archiviert bis 27. September 2002 Archiviert bis Seite 97 » Hilfe!!! « Zurück Vor »

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Sophie
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 19:06:   Beitrag drucken

Hallo,

ich hab hier eine total komplizierte Aufgabe, ich weiß überhaupt nicht wie ich da anfangen soll.

Also:

Im Land der Schildbürger sind nur 2 Münztypen im Umlauf: 19-Schilling-Münzen und 80-Schilling-Münzen. Schillo beklagt sich: Ich kann etwas, das 8 Schilling oder das 98 Schilling kostet, nicht bezahlen.

a) Hat Schillo recht? ( Ich denke mal, das Schillo nicht recht hat, weiß aber nicht, wie ich das beweisen soll)

b) Welche ganzzahligen Beträge können bezahlt werden?

HInweis: Ein Geldbetrag kann auch bezahlt werden, indem der Zahler einen Betrag gibt, auf den der Empfänger passend herausgeben kann.

Hoffe, ihr könnt mir etwas weiterhelfen?

Sophie
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Thomas (johnnie_walker)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker

Nummer des Beitrags: 229
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 19:37:   Beitrag drucken

Siehe hier :

http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/24/127644.html
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Steffi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 14:06:   Beitrag drucken

Hi,

sorry, aber ich versteh von dieser Aufgabe so gut wie überhaupt nix.
Wie kommt ihr denn bei 1= 59*19-14*80 auf die 59 und die 14?
Habt ihr euch das ausgedacht?
Und das mit dem ggt(19,80)/1 da kann ich auch überhaupt gar nix mit anfangen :-(

Steffi
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Yopi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 21:47:   Beitrag drucken

Da hab ich ja gleich eine Möglichkeit, den gerade gelernten Euklidischen Algorithmus nochmal wiederzugeben.

Verwende in den folgenden Rechnungen natürliche Zahlen.
Schreibe die größere der beiden Zahlen als Summe aus einem maximalen Vielfachen der kleineren und einem Rest:

80 = 19*4 + 4
nun nimm die 19 und schreibe sie wiederum als Summe eines maximalen Vielfachen des letzten Restes 4 und einem neuen Rest:
19 = 4*4 + 3
nun nimm die 4 und schreibe sie wiederum als Summe eines maximalen Vielfachen des letzten Restes 3 und einem neuen Rest:
4 = 3*1 + 1

(Bemerkung: Für diese Aufgabe ist es gut (hinreichend), dass sich am Ende Rest 1 ergibt; genauer habe ich aber auch noch nicht begriffen, ob das notwendig ist)

Nun kehre das ganze um und schreibe die 1 als Differenz:

1 = 4 - 3*1
setze die 3 dort ein: 3 = 19 - 4*4, also:
1 = 4 - (19 - 4*4)*1
1 = 4 - 19 + 4*4

1 = 4 - 19 + 4*4
nun ersetze beide Vieren durch 4=80 - 19*4, also:

1 = 80-19*4 - 19 + 4*(80-19*4)
1 = 80 + 4*80 - 19*4 - 19 - 19*16
1 = 5*80 - 21*19

Fertig.
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Yopi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 22:19:   Beitrag drucken

Hi Steffi

ich habe leider zu spät gesehen, dass du was anderes gefragt hast:


Wie kommt man bei 1= 59*19-14*80 auf die 59 und die 14 ?


bekannt ist bisher:
1 = 5*80 - 21*19 (I)

außerdem gilt:
0 = 19*80 - 80*19 (II)

und nun einfach (II) von (I) subtrahieren:
1-0 = (5-19)*80 - (21-80)*19

also
1 = -14*80 - (-59)*19
oder schöner

1 = 59*19 - 14*80

War erst nicht ganz einfach ;-)
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Steffi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. September, 2002 - 17:14:   Beitrag drucken

Hi,

danke:-)
Ich glaub, ich hab das jetzt so halbwegs verstanden. Aber in welcher Klasse lernt man diesen Euklidischen Algorithmus denn? Da hab ich ja noch nie was von gehört....

Steffi
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Yopi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 27. September, 2002 - 22:16:   Beitrag drucken

nochmal richtig:


gehe aus von:

80 = 19*4 + 4
19 = 4*4 + 3
4 = 3*1 + 1

schreibe die 1 in eine Differenz um:
1 = 4 - 3*1
Nun muss zunächst die 3 verschwinden, da die 4 später (in 80 = 19*4 + 4) immer noch verfügbar ist.
also: 19 = 4*4 + 3 => 3 = 19 - 4*4
=> 1 = 4 - (19 - 4*4)*1
1 = 4 - 19 + 4*4
1 = 5*4 - 19
jetzt mach die 4 weg mit 80 = 19*4 + 4 <=> 4 = 80 - 19*4
=> 1 = 5*(80 - 19*4) - 19
1 = 5*80 - 19*20 - 19
1 = 5*80 - 21*19 (I)
================
0 = 19*80 - 80*19 (II)

(II) von (I) subtrahieren:
1-0 = (5-19)*80 - (21-80)*19

also
1 = -14*80 - (-59)*19
1 = 59*19 - 14*80
====================



Dass der Euklidische Algorithmus in der Schule nicht drankommt, ist wohl nichts ungewöhnliches. Mir ist bisher nichts aufgefallen, wann das mal zu gebrauchen war, außer bei solchen "Rätseln", wo es aber ziemlich unrealistisch ist, solche exotischen Zahlungsmittel zu benutzen, ist wirklich 'n Schildbürgerstreich ...

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