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Beitrag |
    
Torben
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 11:17: | 
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Guten Tag!
Gegeben: Winkel a, b mit 0 < a+b < Pi.
Zeige, dass die Gleichung sin²(a)+sin(a)*cos(a)+sin²(b)+sin(b)*cos(b) = 1 dann äquivalent zu a+b=Pi/4 ist. |
Torben
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 11:22: |
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sorry, ich meinte:
gegeben: 0 < a,b < Pi
also 0 < a < Pi und 0 < b < Pi |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 12:03: |
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Hi Torben,
die Äquivalenz stimmt nicht. Die Gleichung ist äquivalent zu
(-cos(2a + p/4) - cos(2b + p/4))/√2 + 1 = 1
cos(2a + p/4) + cos(2b + p/4) = 0
also
2a + p/4 = 2b + p/4 + p + 2np für ganzzahliges n
a - b = p/2 + np
wegen 0 < a,b < p ist das äquivalent zu
|a-b|= p/2
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Torben
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 13:52: |
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Danke für die schnelle Antwort.
Aber a+b=Pi/4 scheint zu stimmen.
Jedenfalls eher als |a-b|= pi/2.
z.B. für a=Pi/6 und b=Pi/12 ist die Gleichung
sin²(a)+sin(a)*cos(a)+sin²(b)+sin(b)*cos(b) = 1 erfüllt, a+b=Pi/4 auch,
aber |a-b|= pi/2 nicht.
ich glaube, wegen cos(x)+cos(y)=0 <=> x+y=Pi
folgt aus der Gleichung
cos(2a + pi/4) + cos(2b + pi/4) = 0, dass
2a + Pi/4 + 2b + Pi/4 = Pi
<=> 2a+2b = Pi/2 ist,
aber durch welche Umformungen kommt man auf
(-cos(2a + pi/4) - cos(2b + pi/4))/√2 + 1 = 1 ?
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egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 15:10: |
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Hi Torben,
du hast mich missverstanden. Die von dir behauptete Äquivalenz ist falsch, weil a+b = p/4 nicht die einzige Lösung ist, es gibt die zweite Lösung |a-b| = p/2. Die Gleichung gilt z.B. auch für a=p/6 und b=2p/3.
Die Umformungen sind elementar. Bei sin²(a)+sin(a)*cos(a) zuerst sin(a) herausheben, dann die Formeln anwenden:
sin(x)+cos(x) = √2 sin(x+p/4)
sin(x)*sin(y) = (cos(x-y)-cos(x+y))/2
cos(-p/4) = 1/√2
Bei sin²(b)+sin(b)*cos(b) genauso.
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Torben
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 17:11: |
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Hallo nochmal
ich hatte noch Schwierigkeiten mit meinem Definitionsbereich der Winkel.
Wenn die Voraussetzung nun lautet:
0 < a < Pi und 0 < b < Pi und 0 < a+b < Pi,
gilt dann die Folgerung
sin²(a)+sin(a)*cos(a)+sin²(b)+sin(b)*cos(b) = 1
=> a+b=Pi/4 ? |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 17:33: |
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Nein, p/6 + 2p/3 ist kleiner als p
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Torben
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. August, 2002 - 20:00: |
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Danke für die Betreuung und die Geduld dabei.
Ich habe mir jetzt die Voraussetzungen nochmal überlegt:
gilt die Folgerung
sin²(a)+sin(a)*cos(a)+sin²(b)+sin(b)*cos(b) = 1
=> a+b=Pi/4 ,
wenn vorausgesetzt wird, dass 0<a<Pi/2 und 0<b<Pi/2 ist?
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egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. August, 2002 - 08:39: |
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Hi Torben,
nichts zu danken, habs gern gemacht. Für 0 < a,b < p/2 ist die Lösung eindeutig.
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