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Beitrag |
    
Kathrin (Kathrin2001)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. März, 2001 - 10:47: | 
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Also, ich komme mit folgender Aufgabe nicht klar:
Wenn Wurzel(2) irgendwo periodisch ist, können wir sie als Bruch a/b (a und b durchgekürtzt) darstellen:
Wurzel(2) = a/b I*b
b*Wurzel(2) = a I quadrieren
b² *2 = a²
Diese Gleichung ist unmöglich, denn sie behauptet, dass die Quadratzahl a² eine ungerade Anzahl von Primfaktoren hat (nämlich die gerade Anzahl von Primfaktoren von b² und den Primfaktor 2). Eine Quadratzahl hat aber IMMER eine gerade Anzahl von Primfaktoren, weil jeder Faktor der grundzahl zweimal vorkommt (Bsp: 12= 2*2*3 -> 12²= 2*2*2*2*3*3)
So, und ich soll nun vor der Klasse begründen und beweisen (in eigenen Worten, damit die anderen es verstehen), dass Wurzel(2) irrational ist und somit nicht als bruch dargestellt werden kann. Könnt ihr mir dabei helfen??? BITTE, und so schnell wie möglich!
Dankeschön!
Kathrin |
tyler
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. März, 2001 - 12:01: |
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Hallo,
was hälst Du denn von dieser Begründung:
a² = 2 * b²
Also ist a² gerade. Deshalb ist auch a gerade,
denn ungerade * ungerade = ungerade.
Wenn a gerade ist, lässt es sich als 2*c schreiben.
a² = 2 * b²
(2*c)² = 2 * b²
4 * c² = 2 * b² | :2
2 * c² = b²
Aus dem gleichen Grund folgt hier, dass auch b
gerade ist.
Also hätte man a/b weiter kürzen können,
so dass die Annahme es gäbe einen Bruch a/b, der
Wurzel(2) darstellt, existiert, falsch ist. |
revo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. März, 2001 - 12:44: |
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hier mein erklärungsvorschlag:
wenn wurzel(2) eine rationale zahl ist, kann ich sie als bruch zweier natürlicher Zahlen (b.z.w. ganzer Zahlen) darstellen (dev. rationaler zahlen)
dies führt zu der obigen Formel: b²*2=a²
jetzt ein einschub zu primfaktoren:
eine nat. Zahl n kann man als produkt von i primfaktoren p darstellen:
n = p1 * p2 * p3 * ... * pi (i Primfaktoren)
daraus ergibt sich für das quadrat:
n*n = (p1 * p2 * p3 * ... * pi) * (p1 * p2 * p3 * ... * pi)
n² = p1*p1 * p2*p2 * p3*p3 * ... * pi*pi
(Anzahl p: 2 p1, 2 p2, ..., 2 pi --> 2*i primfaktoren)
2*i ist eine gerade Zahl, daß heißt jede quadratzahl hat eine gerade anzahl an primfaktoren
nun wieder zu wurzel(2)
b² * 2 = a²
--> stelle nun b² durch seine primfaktoren dar:
(p1*p1 * p2*p2 * p3*p3 * ... * pi*pi) * 2 = a²
da 2 auch eine primzahl ist, ist dies die primfaktorzerlegung für a².
bestimme nun die anzahl der primfaktoren:
(p1*p1 * p2*p2 * p3*p3 * ... * pi*pi) --> 2*i Primfaktoren
2 --> 1 Primfaktor
==> (p1*p1 * p2*p2 * p3*p3 * ... * pi*pi) * 2 --> 2*i + 1 Primfaktoren
2*i + 1 ist eine ungerade zahl. da aber a² eine quadratzahl sein soll muß sie eine gerade anzahl primfaktoren haben(siehe oben). die annahme wurzel(2) ist eine rationale zahl führt also zu einem wiederspruch. somit ist bewiesen, das sie keine rationale zahl ist.
wenn wurzel(2) keine rationale Zahl ist, ist sie also nicht endlich und nicht periodisch. folglich ist sie unendlich nicht periodisch. solche zahlen nennt man irrational (dev.)
ich hoffe das dies wenigstens etwas verständlicher für dich ist. aber wenn du noch fragen hast, kannst du mir ja schreiben.
PS: viel glück bei deinem vortrag |
Ysanne (Ysanne)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 12:25: |
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Ui ist das lang.
Ich kannte das so:
Nehmen wir an, man könnte Wurzel(2) gekürzt als a/b (a und b ganze Zahlen) schreiben, also a/b = Wurzel(2). Das heißt, a und b sind teilerfremd, sprich sie haben keine gemeinsamen Primfaktoren. Jetzt Quadrieren wir das ganze:
a²/b² = 2.
Zwei ist eine ganze Zahl, d.h. es muß a² ein Vielfaches von b² sein. Aber haben wir durch das Quadrieren denn neue Primfaktoren dazubekommen? Nein, nur die schon vorhandenen nochmal. D.h. a² hat mit b² immer noch keine Primfaktoren gemeinsam. Dann kann man das b² natürlich nicht kürzen.
=> Widerspruch
=> Wurzel(2) kann man nicht als a/b schreiben |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. März, 2001 - 09:21: |
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Hi Ysanne,
Ich habe in deinem Text mal die Zahl 2 durch 4 ersetzt:
Nehmen wir an, man könnte Wurzel(4) gekürzt als a/b (a und b ganze Zahlen) schreiben, also a/b = Wurzel(4). Das heißt, a und b sind teilerfremd, sprich sie haben keine gemeinsamen Primfaktoren. Jetzt Quadrieren wir das ganze:
a²/b² = 4.
Vier ist eine ganze Zahl, d.h. es muß a² ein Vielfaches von b² sein. Aber haben wir durch das Quadrieren denn neue Primfaktoren dazubekommen? Nein, nur die schon vorhandenen nochmal. D.h. a² hat mit b² immer noch keine Primfaktoren gemeinsam. Dann kann man das b² natürlich nicht kürzen.
=> Widerspruch
=> Wurzel(4) kann man nicht als a/b schreiben
Also: Wurzel(4) irrational !!! |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. März, 2001 - 10:45: |
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Ysanne hat vergessen b!=1 festzusetzen. Kannst bei sqr(2) denn, denn sqr(2) ist offensichtlich keine natürliche Zahl. Bei sqr(4) gehts nimmer. |
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