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Alex (Drfuture)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Februar, 2001 - 13:32: | 
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Kann mir jemand die Hessische Normalform erklären, und zwar wie man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden errechnet, das ganze bitte möglichst einfach.
Dank im Vorraus
Alex |
doerrby
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Februar, 2001 - 14:57: |
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Zunächst mal vorweg: das hat nichts mit Hessen, Bayern oder sonstwem zu tun, der Mann, der die Formel aufgestellt hat, hieß einfach Hesse, deswegen Hesse'sche Normalenform. Außerdem macht man die normalerweise erst bei der Vektorrechnung in der Oberstufe.
Ich gehe davon aus, dass es sich um eine Aufgabe in der Ebene und nicht im Raum handelt, also zweidimensional.
Eine Gerade hat in Vektorschreibweise einen Aufpunktsvektor und einen Richtungsvektor. Zu dem Richtungsvektor kann man einen senkrechten Vektor, den Normalenvektor finden. Beispiel:
Gerade g: x = (0|-2) + l(1|2)
Ein senkrechter Vektor zum Richtungsvektor (1|2) ist z.B. (-2|1), denn wenn man das Skalarprodukt bildet, kommt 0 raus:
(1|2) * (-2|1) = 1*(-2) + 2*1 = 0 .
Dieser Normalenvektor muss zur genauen Abstandsberechnung normiert werden, d.h. er muss die Länge 1 haben. Dazu teilt man ihn durch seinen Betrag: |(-2|1)| = Wurzel( (-2)2 + 12 ) = Wurzel(5)
und nennt ihn n0 (= 1/Wurz(5) (-2|1) ) .
Die Hesse'sche Normalenform wird nun normalerweise dazu benutzt, den Abstand d der Geraden vom Nullpunkt zu bestimmen, es gilt nämlich dann für einen beliebigen Punkt x der Geraden:
n0 * x = d
Beispiel: (0|-2) ist Element der Geraden, also ist
d = 1/Wurz(5) (-2|1) * (0|-2) = -2/Wurz(5) = -0,8944 der Abstand der Geraden vom Nullpunkt.
Setzt man jetzt aber für x statt eines Geradenpunktes den Punkt P ein, dessen Abstand man von der Geraden berechnen will, so erhält man einen Abstandswert d1, der besagt, dass eine zu g parallele Gerade durch P eben den Abstand d1 vom Nullpunkt hat. Die Differenz |d-d1| ist dann der Abstand der beiden Geraden untereinander, und wenn die ganze Gerade den Abstand |d-d1| von g hat, dann auch jeder einzelne Punkt, speziell P.
Beispiel: Sei P = (4|2) , dann ist
d1 = 1/Wurz(5) (-2|1) * (4|2) = -6/Wurz(5) = -2,683
und damit |d-d1| = | (-2/Wurz(5)) - (-6/Wurz(5)) | = 4/Wurz(5) = 1,789 , was nach obiger Erklärung der Abstand zwischen P(4|2) und der Geraden g: x = (0|-2) + l(1|2) ist.
Gruß Dörrby |
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