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Marian
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 20:17: | 
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Man zeige, daß von 3 natürlichen Zahlen a,b,c, für a^2 + b^2 = c^2
mindestens eine durch 3 teilbar ist.
Ich bitte um einen ziemlich vollständigen Beweis, danke |
philomath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 10:11: |
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Hm. ich kenne dazu auch keinen Beweis, aber die pythagoräischen Zahlen sind 3,4 und 5 bzw. 5,12 und 13 . Da 3 und 12 durch 3 teilbar sind, sind auch alle ganzzahligen vielfachen davon durch 3 teilbar.Sorry, daß ich es nicht besser weiß. |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 10:58: |
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Als erstes schaust du dir an, wie die Reste von Quadratahlen aussehen, wenn du sie durch 3 teilst:
Sei n eine beliebige natürliche Zahl.
Wird sie mit Rest durch 3 geteilt, so erhält sie die Darstellung
n= 3q+r mit 0 <= r < 3
Damit gilt für jede Quadratzahl
n²= (3q+r)² = 9q² + 6qr + r² = 3k + r² (mit k= 3q² + 2qr)
für r=0 ist n²= 3k+0
für r=1 ist n²= 3k+1
für r=2 ist n²= 3k+4 = 3(k+1) +1
Wird eine Quadratzahl durch 3 geteilt, so ist der Rest also 0 oder 1.
Umgekehrt gilt nun:
Wird eine beliebige Zahl m mit Rest durch 3 geteilt und ist dieser Rest gleich 2, so kann m keine Quadratzahl sein.
Soweit, sogut.
Nun zurück zum Problem a²+b²=c²
Was passiert, wenn a und b nicht durch 3 teilbar sind?
Dann haben sie die Form
a= 3k+i, b= 3l+j mit 0 < i,j < 3
und es folgt
a²+b²= (3k+i)² + (3l+j)²
= 9k²+6ki+i² + 9l²+6lj+j²
= 3m +i² +j²
i² und j² sind 1 oder 4, und ergeben durch 3 geteilt jeweils den Rest 1. Also ist
a²+b²= 3s +1 +1 = 3s +2
keine Quadratzahl.
Damit folgt: mindestens eine der Zahlen a und b muß durch 3 teilbar sein, damit
a²+b² eine Quadratzahl ist, also a²+b²=c² gilt.
Man kann jetzt noch zeigen, daß sowohl a als auch b duch 3 teilbar sind, wenn a²+b² durch 3 teilbar ist.
a²+b²= (3k+i)² + (3l+j)²
= 9k²+6ki+i² + 9l²+6lj+j²
= 3m +i² +j²
sei durch 3 teilbar. Also ist
i²+j²= 0
i=0, j=0 |
Marian
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 13:27: |
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Danke für den Beweis.
Ist ne echte Hilfe für mich. |
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