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Flo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 13:41: | 
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Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:
Ermittle alle natürlichen Zahlen e, zu denen eine natürliche Zahl f mit e > f so existiert, so dass es einen ebenflächig begrenzten Körper (ein Polyeder) mit e Ecken und f Flächen gibt. |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 07:58: |
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Hallo Flo, die Zahlen e und f sind
e f
8 6 Hexaeder
20 12 Dodekaeder
Hast Du irgendeine Anweisung bekommen, wie Du dies mathematisch ermitteln sollst? |
Ysanne
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 17:25: |
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Erstens ist das eine Aufgabe aus der Mathe Olympiade. Zweitens, such mal irgendwo nach dem Flächen-Kanten-Ecken-Satz (oder sowas) von Euler. |
Flo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 21:15: |
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zu Erstens: die mathe-olympiade ist schon längst vor den weihnachtsferien gelaufen, jedenfalls bei uns...... und die runde davor vor den herbstferien |
Yvonne
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 17:40: |
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Einem Würfel mit der Kantenlänge 8cm ist ein Oktaeder so eingeschrieben, dass die Oktaedereckpunkte mit den Mittelpunkten der Würfelflächen zusammenfallen.
Berechne die Kantenlänge, das Volumen und die Oberfläche des Oktaeders. |
gregor
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 18:19: |
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Wenn man Würfel und Oktaeder parallel zu einer
der Seitenflächen in der Mitte durchschneidet,
dann ist der Schnitt mit dem Würfel ein Quadrat
der Seitenlänge 8cm und der Schnitt mit dem Okta-
eder ein Quadrat, dessen Eckenpunkte die Seiten-
mittelpunkte des großen Quadrats sind, dass der
Schnitt mit dem Würfel ist. Somit gilt nach dem
Satz von Pythagoras für die Seitenlänge des Okta-
eders
Seitenlänge^2 = (8cm/2)^2 + (8cm/2)^2 = 32 cm^2
Die Seitenlänge des Oktaeders ist deshalb 4*Wurzel(2) cm.
Die Seiten des Oktaeders sind regelmäßige Drei-
ecke der Kantenlänge 4*Wurzel(2) cm, insgesamt
8 Stück (woher der Name Oktaeder kommt). Die
Fläche eines regelmäßigen Dreiecks der Kanten-
länge $k$ ist Wurzel(3)/4*k^2, somit ist die
Oberfläche des Oktaeders
8*Wurzel(3)/4*( 4*Wurzel(2) cm )^2
=
64*Wurzel(3) cm^2
Der Oktaeder selbst ist die Summe von zwei
Pyramiden, das Volumen jeder der beiden Pyramiden ist aber 1/3*Höhe*Grundfläche. Somit ist das
Gesamtvolumen des Oktaeders
2*1/3*(Höhe=4cm)*(Grundfläche=(4*Wurzel(2) cm)^2)
=
8/3*32 cm^3
=
256/3 cm^3
Das Gesamtvolumen des Würfels ist übrigens einfach
(8cm)^3=512 cm^3. Also ist das Volumen des Oktaeders genau ein Sechstel des Volumen des Würfels. |
sailor
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 18:34: |
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Hi Yvonne,
wenn Du den Würfel parallel zu einer Seitenfläche in der Mitte von oben nach unten durchschneidest, so siehst Du als Schnittfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge s=8cm.
Verbindest Du die Mittelpunkte der Quadratseiten miteinander, so siehst Du die Schnittfläche des Oktaeders.
Seine Seitenlänge a ist halb so lang wie die Diagonale des Quadrats also a=4* Wurzel 2 cm.
Die Formel für das Oktaedervolumen ist V=1/3*a³*Wurzel 2;
ergibt V=256/3 cm³.
Die Formel für die Oktaederoberfläche ist
O=2*a²*Wurzel 3;
ergibt O=64* Wurzel 3 cm². |
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