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Flo
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 21:03: | 
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Hallo,
nun hab ich also die zweite Runde der Mathe-Olympiade erfolgreich bestanden. Allerdings habe ich keine der vier Aufgaben gänzlich richtig. :-( Da ich in den letzten Jahren die Erfahrung gemacht habe, dass in der Landesrunde meist 2-3 Aufgaben ähnlich wie in der 2. Runde sind, wäre es nicht schlecht, wenn ich alle Lösungen hätte, damit ich mich auf die 3. Runde vorbereiten kann. (In einigen Schulen werden ja die Lösungen vom Lehrer mitgeliefert, das ist bei uns aber nicht der Fall, auch auf Nachfrage hin gaben die Lehrer uns die Lösungen nicht!! *grummel* Ich weiß das, weil mir jemand aus der 11. Klasse einer anderen Schule erzählt hat, dass sie die Lösungen gekriegt haben von ihrem Lehrer!)
Also wer zufällig die Lösungen von der 2. Runde der diesjährigen Mathe-Olympiade der 10. Klasse hat, wäre super, wenn ihr sie mir zuschickt. Ansonsten, wer meint, dass die Aufgaben ganz einfach sind, kann sie ja mal schnell lösen ;-)
Aber nun zu den Aufgaben:
1) Wieviel Möglichkeiten gibt es, die Zahl 2000 als Produkt von zwei natürlichen Zahlen so zu schreiben, dass der erste Faktor größer als der zweite ist?
(Die hab ich nur durch ausprobieren rausgekriegt :o) aber ich weiß, dass es was mit primfaktorzerlegung zu tun hat, meinte jedenfalls unser lehrer)
2) Ermitteln Sie alle natürlichen Zahlen e, zu denen eine natürliche Zahl f mit e > f so existiert, so dass es einen ebenflächig begrenzten Körper (ein Polyeder) mit e Ecken und f Flächen gibt.
3) Beweisen Sie, dass gilt 1999^(hoch)1999 < (1999!)^2
Hinweis: Mit 1999! ist dabei das Produkt aller natürlicher Zahlen von 1 bis 1999 bezeichnet.
4) AB sei der Durchmesser eines Kreises k und t sei die Tangente in B an k. Ferner sei P sei ein beliebiger von B verschiedener Punkt der Tangente t, die Gerade AP schneide den Kreis k in einem weiteren Punkt C.
Beweisen Sie, dass dann gilt: [Betrag von]PA * [Betrag von]AC = ([Betrag von]AB)^2
(ich hoffe das hat jetzt jemand verstanden *g* aber die mathematischen zeichen gibt es nicht auf meiner tastatur;-)
Komisch, dass sie einen in der 10. Klasse schon siezen.... als tip noch: die aufgaben sind wirklich leicht zu verstehen, sie sind nur extra so komisch gestellt! am besten irgendwie ausprobieren, wenn man die aufgabe nicht versteht. ich hab's einfach schritt für schritt versucht nachzuvollziehen!
Vielen Dank noch an alle, die sich die Mühe machen mir zu helfen!!!!!
~Flo~ |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 20:14: |
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zu 3):
(1999!)2 lässt sich darstellen als folgendes Produkt:
(1999!)2 = 1999! * 1999! = (1*1999) * (2*1998) * (3*1997) * ... * (1998*2) * (1999*1)
Dieses Produkt besteht also aus 1999 Produkten, von denen jedes bis auf das erste und das letzte größer ist als 1999. Da 19991999 hingegen ein Produkt aus 1999 Faktoren ist, die jeweils "nur" gleich 1999 sind, ist das Produkt mit den Fakultäten, auf jeden Fall größer (was zu beweisen wäre). Ich hoffe, dieser kurze Ansatz zeigt dir einen möglichen Gedankengang. Wenn nicht, hier nochmal nachfragen... |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 20:28: |
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zu 4):
Nimm doch AP als Durchmesser eines neuen Kreises!
Nach Thales (kennst du doch, oder?), muss B auf dem Kreisbogen liegen. Da nach Thales das Dreieck ABC ein rechtwinkliges ist (mit C=90°), kann man auf das Dreieck ABP nun den Kathetensatz anwenden (notfalls nachschlagen, evtl. auch zu finden unter Mittlere Proportionale oder Geometrisches Mittel). Dieser Satz gibt genau die Beziehung aus deiner Aufgabenstellung wieder! |
Flo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 20:59: |
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cool, ich hoffe das ist wirklich richtig *g* naja, erscheint mir aber alles logisch! Naja, ich werd mal weiter darüber nachdenken morgen......
danke
~Flo~ |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 21:01: |
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zu 1):
Also gut. Die Primfaktorzerlegung wäre:
2000 = 24 + 53, aber was nun?
Ich dachte mir, es geht um 2000 = m * n mit m,n Elemente aus N und m>n. Also habe ich gerechnet: Wurzel(2000)=~44,7, also muss m größer/gleich 45 sein, n also automatisch kleiner. Das ist schon mal die erste Einschränkung.
Nun muss man herausfinden, welche Kombinationen von 2 und 5 in Frage kommen:
Wir haben 24 und 53 zur Verfügung, also sind die Fünferpotenzen weniger Arbeit:
53 * 2x >/= 45 => x Element {0;1;2;3;4}
52 * 2x >/= 45 => x Element {1;2;3;4}
52 * 2x >/= 45 => x Element {4}
Zusammen haben wir 10 Möglichkeiten, aus den gegebenen Zahlen {2;2;2;2;5;5;5} ein Produkt m zu erzeugen, das größer ist als der zweite Teiler n, so dass gilt: m * n = 2000 und m > n. Das soll nur ein kurzer Lösungsumriss sein, aber ich habe keine Ahnung, ob es auch mathematisch genug ist... |
Ysanne
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 16:43: |
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Ich weiß den nicht auswendig, aber such dir für die 2 doch mal den Eulerschen Satz raus, wie bei einem Polyeder Kanten und Ecken und Flächen zusammenhängen. |
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