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Stephan
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 15:18: | 
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Hallo ihr Mathe Profis
Ich hab da eine Frage, und zwar ob es für folgende Aufgabentypen eine Formel gibt
a)Wir haben eine 80m lange Mauer und einen 120m langen Zaun. Diese sollen so zu einem Rechteck gelegt werden, das der größtmögliche Flächeninhalt entsteht. Wie lang sind die Seiten?
b)80m Zaun und 30m Mauer sollen ein größtmögliches Rechteck ergeben.Wie lang sind die Seiten?
c) In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Kathetenlängen 40cm und 80cm soll ein größtmögliches Rechteck entstehen.
Welche Seitenlängen wird es haben?
Folgenden Rechenweg hat mir Leo netterweise schon gegeben, dieser leuchtet mir auch ein, aber ich würd gern wissen, ob es da eine ständige Formel gibt, die man bei aufgaben dieser Art benutzen kann, und wenn ja, welche?:
ich habe von der Länge her max. 80 Meter zur Verfügung.
Ich setze: Länge = x
Dann ist die Breite: (120-x)/2, weil der Zaun eine Länge und zwei Breiten abdecken muß, die zweite Länge übernimmt die Mauer.
Also ist die Fläche:
A=(120-x)/2*x=60x-x2/2
Das kann ich so umstellen: A=-1/2*(x2-120x+3600-3600)=-1/2*(x-60)2+1800 (Quadratische Ergänzung)
Da der Term in der Klammer abgezogen wird, ist A am größten, wenn x=60 ist. A ist in diesem Fall 1800
Könnt ihr mir helfen?
ich würd mich sehr über eine schnelle Nachricht freuen
Stephan |
doerrby
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 15:52: |
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Das Rechteck mit dem größtmöglichen Flächeninhalt ist, wenn der Umfang als Ganzes konstant ist und sonst keine Bedingungen gestellt sind, immer ein Quadrat. Das heißt für
a) U = 80m + 120m = 200m = 4s Þ Seitenlänge s = 50m
b) U = 80m + 30m = 110m = 4s Þ Seitenlänge s = 27,50m
(Es ist nicht gesagt, dass nicht auch eine Seite aus Zaun und Mauer bestehen kann.)
Wenn aber, wie bei c) noch eine weitere Bedingung gegeben ist (Rechteck in rechtwinkliges Dreieck einbeschrieben), dann muss man eine Hauptbedingung und Nebenbedingung(en) formulieren.
Die Hauptbedingung hier ist der Flächeninhalt
F = l * b .
Die Nebenbedingung ist die Begrenzung durch das rechtwinklige Dreieck. Sie dient dazu, die Hauptbedingung nur noch von einer Variablen abhängig zu machen.
Stell' Dir das Ganze in einem Koordinatensystem vor: Das Dreieck hat die Eckpunkte (0/0) , (0/80) und (40/0), d.h. die Katheten liegen auf x- und y-Achse. Dann hast Du als Grenzlinie die Gerade zwischen (0/80) und (40/0) mit der Steigung (80-0)/(0-40) = -2 , also
y = -2x + 80 oder auch
l = -2b + 80
Die letzte Gleichung ist jetzt die Nebenbedingung, die Du in die Hauptbedingung einsetzt:
F(b) = l * b
= (-2b+80) * b
= -2 * (b-40) * b
= -2b2 + 80b
Das ist eine Parabelgleichung mit den Nullstellen 0 und 40 (bei b=40 ist l=0). Der Scheitelpunkt ist das gesuchte Maximum. Er liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen, also bei
b=20 Þ l = -2*20 + 80 = 40 .
Damit ist die maximale Fläche F = l*b = 40cm * 20cm = 800 cm2 .
Gruß Dörrby |
stephan
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Februar, 2001 - 19:05: |
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vielen dank für die hilfe, ich werd es mir in aller ruhe durchlesen und "überprüfen", wenn ich etwas nicht verstehen sollte, kann ich meine Frage ja genau präzisiert an euch stellen
gruß stephan |
Martin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Februar, 2001 - 21:58: |
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Ich glaube, dass Stephan eine gerade Mauer meint, sie kann also keine Ecken einschließen. Das macht die ganze Aufgabe natürlich ein bisschen schwieriger:
Ich habe also:
a+2b=120 (das zweite a vom Zaun wird von der Mauer ersetzt)
a*b Þ max.
(120-2b)*b Þ max.
120b-2b² Þ max.
Der Scheitel der Parabel liegt bei 30, also muss b=30 sein und daraus folgt, dass a=60 ist. Die Mauer ist lang genug, um die 60m Zaun zu ersetzen, deswegen ist dieses Rechteck dass Maximum (Die Fläche ist 1800m²).
Bei der zweiten Aufgabe wäre das a=40 und b=20. Da der Zaun aber nur 30m Zaun ersetzen ersetzen kann ist a=30 (und b=25) das Maximum (Fläche=750m²).
Viele Grüße,
Martin |
stephan
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 14:52: |
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Vielen Dank, Martin, ich glaube du hast recht, so in etwa hatte unser Lehrer das auch gemacht, aber mich hat interessiert, ob es dafür auch eine festgelegte Formel gibt, oder ob man die Formel mit logischem Denken aufstellen muss
Gruß
Stephan( und vielen Dank) |
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