| Autor |
Beitrag |
    
Nguyen Viet Duc (Ducviet)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 14:14: | 
|
Tim und Tom spielen das Goldgräberspiel. Ausgehend vom eigenen Startclaim, versuch jeder, das ganze Goldfeld (Spielfeld) für sich zu erobern. Spielfeld und Startclaim sind quadratisch und setzen sich aus Einzelquadraten zusammen. (Das Spielfeld besteht aus n*n aneinandergefügten Einzelquadraten, n ist eine natürliche Zahl)
1. Tim startet auf dem 49-Feld. Er überlegt. "Ich kann mein Startclaim k*k=49 Einzelquadrate groß wählen. Dann habe ich keine Auswahlmöglichkeiten. Viele Platzierungsmöglichkeiten ergeben sich bei der Wahl eines k*k=1*1 - Feldes; entsprechend weniger für k=2, 3, 4, 5 und 6. Nach einer Schätzung habe ich insgesamt bis zu 100 Lagemöglichkeiten. " Tom: "Ich schätze diese Gesamtzahl auf mindestens 125."
Wer hat Recht? Erläutere.
2. Tom legt seinem Claimspiel "Tom-spezial" ein n*n Spielfeld (n ist eine natürliche Zahl) zu Grunde.
a) Wie viele Möglichkeiten m hat er, irgendwelche erlaubten k*k-Startclaims mit k ist eine Natürliche Zahl, k ist kleiner oder gleich n zu wählen? Hinweis: Für den Summenwert m existiert eine Produktdarstellung.
b) Wie groß ist die Anzahl m der Möglichkeiten bei n=88 ?
Wie hat Tom n zu wählen, wenn die Anzahl m gerade 4900 sein soll?
BITTE GIBT SO VIELE VERSCHIEDENE
LÖSUNGSMÖGLICHKEITEN UND ERKLÄRUNGEN AB WIE IHR NUR FINDEN KÖNNT. ANDERE FORMULIERUNGEN EINER LÖSUNG SIND AUCH SCHÖN |
doerrby
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 16:21: |
|
Meine Lösung sieht so aus:
1.
Vermutlich ist hier n=7 gemeint, wenn Tim bei k=7 keine Wahlmöglichkeiten, d.h. nur eine Möglichkeit zu setzen hat. Für ein 1*1-Feld ergeben sich offensichtlich 49 Möglichkeiten. Ein 2*2-Feld kann in einer Zeile nicht mehr 7 sondern nur noch 6 verschiedene Positionen einnehmen, da es 2 Felder breit ist. Entsprechend kann es in einer Spalte ebenfalls nur 6 Positionen einnehmen, also 6*6 insgesamt. Ein 3*3-Feld eintsprechend 5*5 Positionen, ein 4*4-Feld 4*4 Positionen usw.
Die Gesamtzahl aller Startmöglichkeiten ist demnach 72 + 62 + ... + 22 + 12 = 140. Also hat Tom Recht.
2.
a) Wie eben gesehen, hat man bei n=7 m = 12 + 22 + ... + 62 + 72 Startmöglichkeiten.
Für ein beliebiges n gibt es (nach der gleichen Überlegung wie oben)
m = 12 + 22 + ... + n2
Startmöglichkeiten. Für diese Summe gibt es eine Formel. Sie lautet
12 + 22 + ... + n2 = 1/6 n(n+1)(2n+1)
b) Nach dieser Formel ist bei n=88
m = 1/6 * 88 * 89 * 177 = 231044
Wenn m vorgegeben ist, wird es etwas ungenau, da man eigentlich eine Gleichung dritten Grades lösen müsste. Wir behelfen uns mit einem kleinen Trick:
4900 = 1/6 n(n+1)(2n+1) = 1/3 n3 + 1/2 n2 + 1/6 n ³(ungefähr) 1/3 n3 | *3
Þ 14700 ³ n3 | 3.Wurzel
Þ 24,4966 ³ n
Jetzt fangen wir an, ab 24,5 abwärts ganze Zahlen in die Formel einzusetzen.
m(24) = 1/6 * 24 * 25 * 49 = 4900
Schon bei der ersten Zahl haben wir hier Erfolg. Wäre n kleiner, müsste man eventuell noch weiter probieren.
Gruß Dörrby |
Nguyen Viet Duc (Ducviet)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 12:48: |
|
Bitte noch mehr Lösungsmöglichkeiten senden |
|
