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Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 1999 - 00:08: | 
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Hallo, das ist kein Notfall, mich tät nur interessieren, wie man an diese Aufgabe herangeht oder was die lösung ist:
a,b,c sind drei Punkte in R² die nicht auf einer Geraden liegen.
E={p in R² | p hat von a,b,c ganzzahligen abstand}
zeige: E ist endlich.
der beweis ist angeblich sehr kurz und man benötigt dazu nur gymnasialwissen. |
Bodo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. September, 1999 - 22:52: |
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Simple ist das nicht gerade.
Folgende Überlegung, vielleicht hilft sie Dir oder dem nächsten Tüftler weiter:
Wenn ich um a, b und c jeweils Kreise mit Radien 1,2,3,4,5, ... ziehe, dann gehören alle Punkte zu E, die Schnittpunkte von drei Kreisen sind.
Noch offen ist jetzt natürlich noch, warum diese Schnittpunkte nicht beliebig oft vorkommen können.
Also, Bahn frei für den nächsten Denker.
Bodo |
clemens
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 1999 - 15:21: |
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Bodos Überlegung finde ich gut.
Ich habe eine weitere:
Da es sowieso nur um Abstände geht, kann man das Problem vereinfachen, indem man den Punkt a z.B. in den 0-Punkt legt und b z.b. auf die x-Achse (Ergebnis einer Dreh-Verschiebung eines beliebigen Dreiecks).
Weiterdenken :-)
clemens |
habac
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 1999 - 15:48: |
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Die Aufgabe hat mich sofort fasziniert, aber ich habe auch keine Lösung.
Ob man ein Koordinatensystem braucht?
Vielleicht sollte man das Problem in den Raum einbetten: Dort gibt es zu jedem Abstandstripel maximal 2 zur Ebene von a,b,c symmetrisch gelegene Punkte p. Jetzt müsste man beweisen, dass nur endlich viele davon in der Ebene von a,b,c liegen, das heisst, dass das Volumen der Tetraeder a,b,c,p nur in endlich vielen Fällen 0 wird, wenn die Abstände ganz sind.
Bitte weitertüfteln!
habac |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 1999 - 00:48: |
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Ist eine knifflige aber faszinierende Aufgabe. Dazu folgende Überlegung (die zwar zu keinem Beweis führt aber vielleicht eine weitere Anregung ist):
Der euklidische Abstand von zwei Punkten ist die Norm der Differenz beider Vektoren, also Wurzel((x1-y1)²+(x2-y2)²).
Im Fall dieses Beispiels soll dieser Abstand für a, b, und c zu Punkt p ganzzahlig sein.
Das heißt wenn N eine natürliche Zahl ist soll gelten:
(p1-a1)²+(p2-a2)² = N²
(p1-b1)²+(p2-b2)² = N²
(p1-c1)²+(p2-c2)² = N²
Dieses Gleichungssystem hat im Allgemeinen natürlich unenlich viele Lösungen (3 Gleichungen, 4 Variable). Wenn man aber eine Restriktion einführen könnte, die garantiert, dass N ganzzahlig ist, sähe die Sache möglicherweise anders aus.
Ich hab' es leider nicht geschafft, wünsche dem nächsten Tüfter mehr Glück.
mfg |
clemens
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 1999 - 09:38: |
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Hallo, Anonym!
Ich verstehe deine Argumentation nicht ganz:
wo sind die VIER Variablen? außerdem muß der Abstand von p zu a z.b. nicht derselbe wie |p-b| sein, wenn ich die angabe recht verstanden habe.
ich hab mir schon was überlegt nach meinem ansatz: wir nehmen a=0, b=(w,0), c=(u,v)
die drei kreisradien um die punkte nennen wir m, n und k.
x² + y² = m²
(x-w)² + y² = n²
(x-u)² + (y-v)² = k²
diese drei Kreise habe ich schon geschnitten, aber die Ausdrücke werden wahnsinnig lang, und dann zu erahnen, unter welchen Bedingungen an m,n,k es überhaupt eine Lösung gibt, mal davon abgesehen, daß m,n,k auch noch ganzzahlig sein sollen, ist eher mühsam.
aber ich tüftle weiter, und das solltet ihr alle auch machen :-)
clemens |
habac
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Oktober, 1999 - 14:20: |
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Hi
ist jemand weitergekommen? Hat jemand einen neuen Ansatz?
habac |
quirin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 1999 - 17:01: |
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Ein Segelboot bewegt sich in der Sekunde mit einer Eigengeschwindigkeit,
die durch den Vektor (1/2) beschrieben wird (konstant).
Der Wind besteht aus einem Vektorfeld, das in Abhängigkeit vom Punkt (x/y)
durch (x+y/x-y) beschrieben wird, wobei die Koordinaten ebenfalls in der Einheit
1m/s die Komponenten der Geschwindigkeit angeben.
Frage: "Wo befindet sich das Segelboot nach 60s, wenn es beim Ausgangspunkt
(1/1) startet?" |
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Oktober, 1999 - 00:11: |
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Es handelt sich um eine anschaulicheres Differentialgleichugnssystem :
.
x = x+y+1
.
y = x-y+2
Eine Spezielle Lösung ist x(t)=t,y(t)=2t und die allgemeine Lösung bestimmst Du mithilfe der Koeffizienten-Matrix.
Es ist x(0)=1=y(0).Daraus erhältst Du die Weg-Zeit-Funktion des Bootes und mußt nur noch für t=60 einsetzen,um den Zielpunkt zu erhalten. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Oktober, 1999 - 00:13: |
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Zur Tüftelaufgabe:
Seien a und b zwei Punkte im R², und sei M die Menge aller
Punkte, die NICHT auf der Geraden durch a und b liegen, und
die ganzzahligen, aber VERSCHIEDENEN Abstand von a und b
haben. Dann existiert eine obere Schranke der Abstände aller
Punkte von M zu a und zu b (Stichwort: Cosinussatz). |
habac
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Oktober, 1999 - 08:05: |
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Zur Tüftelaufgabe:
So wie ich die Behauptung von Anonym vom 21.1099 lese, ist sie falsch.
Gegenbeispiel:
Nimm z. B. zwei Punkte a und b, deren Abstand 2 beträgt. Dann kann man doch zu beliebig grossem n (n>=1) einen (sogar 2) Punkt P konstruieren, der von a den Abstand n und von b den Abstand n+1 hat, insbesondere auch, wenn n ganzzahlig ist.
habac |
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Oktober, 1999 - 22:50: |
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Beim DGL ist mir ein Fehler unterklaufen : x(t)=t,y(t)=2t ist KEINE spezielle Lösung,sondern x(t)=-3/2 ; y(t)= 1/2
Ansonsten sollte es aber stimmen. |
anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Oktober, 2000 - 15:12: |
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Bitte um Hilfe !!!
Wer kann diese Aufgabe lösen? Bitte meldet euch...
a. Sven hat ein schlechtes Gedächtnis und kennt die Folge der Primzahlen nur bis zur 31 auswendig. Er soll die Zahl 813841 in Primfaktoren zerlegen. Dazu steht ihm zwar der Taschenrechner zur Verfügung, aber keine Primzahltafel. Wie kann er diese Aufgabe lösen ?
b. Nun hat er am Lösen solcher Aufgaben Spaß gefunden. Er zerlegt die 813813, die 841841 und weitere sechsstellige Zahlen des Typs abcabc in Primfaktoren. Dabei kommt er zu einer Vermutung über Primzahlen, die Teiler von Zahlen dieses Typs sind. Formuliere eine solcher Vermutung !
c. Versuche, diese Vermutung zu beweisen !
d. Untersuche entsprechende Primzahl-Aussagen zu anderen speziellen Typen sechsstelliger Zahlen, etwa Zahlen des Typs abccba , ababab , abbabb !
Hinweis: Die Schreibweise abcdef bezeichne hier die Zahl, die mit den Ziffern a, b, c, d, e, f in dieser Reihenfolge geschrieben wird.
Danke für eure Hilfe !!!! |
Carmichael
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Februar, 2001 - 22:18: |
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a) 813841 = 17*7²*977; [sqr(977)] <=31;
b/c) diese Zahlen sind von der Form
abc*10^3+abc = abc(10^3+1); abc dreistellige
Zahl; [sqr(1001)]<=31; er kann also alle dreistelligen Zahlen und 1001 faktorisieren
d) kannst jetzt auch selber |
sven
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Februar, 2001 - 16:39: |
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vielleicht hat sich sven einfach so ein programm geschrieben?
10WINDOW OPEN:REM Dateiname=primfakt.bas
20INPUT "Number",n
30a=1
40a=a+1:c=0
50IF FRAC(n/a)=0 THEN 120
60IF d=0 THEN 100
70PRINT a;:IF c>1 THEN PRINT "^";c;
80IF n>1 THEN PRINT "*";
90d=0
100IF a>n/a THEN 140
110GOTO 40
120n=n/a:c=c+1:d=1
130GOTO 50
140IF n=1 THEN END
150PRINT n |
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