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murray (murray)
Junior Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 12:50: | 
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Einer Spinne wurde vom Wind ein Streich gespielt und sie wurde samt Ihres Netzes an einen Platz getragen wo nur ein einzelner Grashalm steht.
Normalerweise baut die Spinne nur achteckige Netze zwischen zwei Grashalmen, was ja auch recht einfach ist.
Dazu hat die Spinne zwei einfache Regeln:
1. die kann jede Strecke halbieren (egal ob eigener Faden, Grashalm oder Boden) und dort einen neuen Knoten anfangen
2. sie kann an einem Eckpunkt oder Knoten einen neuen Faden anknüpfen
Nach diesen Regeln baut sich sich zunächst die Speichen um danach einen Rahmen für die Außenkante ihres Netzes zu knüpfen.
Ihre Cousine die heimische Spinne zeigt Ihr (und uns) wie man ganz einfach zu einem sechseckigen Netz kommt:
Könnt Ihr der Spinne helfen ein möglichst großes achteckiges Netz zu bauen, damit sie nicht verhungern muß?
Murray |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 18:42: |
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Hallo Murray,
das ist ein sehr interessantes Rätsel. Ich hab eine Lösung versucht und bin dabei von folgenden Annahmen ausgegangen:
a) Das 8-eckige Netz hat 8 "Speichen", die vom Mittelpunkt (hier der Schwerpunkt S) ausgehen
b) Das Achteck ist konvex (zumindest hat es keine "Einbuchtungen")
c) Das Achteck muß eine größere Fläche als das Sechseck der Cousine haben.
Hier mein Vorschlag:
Die Halbierungspunkte A,B,C und C,D,E sind immer kollinear (Strahlensatz), das Secheck BCDFGH der Cousine ist in ABCDEFGH enthalten.
Bin gespannt, ob du ein größeres Achteck gefunden hast!
sol@ti
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fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 138
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 19:05: |
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Hi,
man teile den Grashalm in Vier Teile und verbinde die Mitte der oberen Hälfte mit der Mitte der Punkte A und H in der Zeichnung. Dann weiter zu H und in die Mitte der Strecke SF. Schliesslich an das untere Ende des Grashalms.
Anschliessend spiegele man die erhaltene Figur am Grashalm. Dadurch erhält man meiner Meinung nach ein grösseres Achteck.
Ob es das grösste ist, keine Ahnung.
Fireangel |
fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 139
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 19:14: |
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Hi,
Wenn man die Strecken zwischen den Eckpunkten des Ersten Dreiecks und den Punkten G, B, D immer wieder teilt und die entsprechende Eckpunkte des Achtecks immer weiter nach aussen verschiebt, kann man eine beliebig gute Annäherung an den Flächeninhalt des ersten Dreiecks erreichen.
Das gleiche Prinzip funktioniert auch bei meiner Lösung. Im Grenzwert hat das grösstmögliche Achteck dann die Fläche (bzw die doppelte FLäche) des Maximalgrossen ersten Dreiecks, das entsteht, wenn der erste Faden im Abstand h=Höhe des Grashalms auf dem Boden ankommt.
Fireangel |
murray (murray)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 85
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 10:09: |
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@sol@ti: sehr interessante und vor allem einfache Lösung. Ich habe leider nur ein sehr viel kleineres, dafür aber symetrisches Achteck.
@fireangel: Ob Du Dir die Mühe machen kannst ein Bild zu Deiner ersten Lösung zu malen? Es ist ja ein geometrisches Rätsel und man kann sich das einfach besser vorstellen
Und um das Problem mal zu verkomplizieren:
Was wäre wenn die Spinne sich ein symmetrisches Achteck wünscht (wer wohnt schon gerne in einem schiefen Haus)?
Leichte Abweichungen wären zwar erlaubt, aber je runder umso besser
Murray |
fireangel (fireangel)
Moderator
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Nummer des Beitrags: 140
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 13:53: |
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HI,
sicher kann ich. Ich bin nur am Pinsel nicht so gut wie and er Feder, deshalb versuch ich das möglichst zu vermeiden. Aber wenns denn sein muss:
Ich denke, das reicht. Durch weiteres Teilen der Strecken CN, BK usw. und entsprechendes "nachaussenverschieben" der Eckpunkte des Achtecks vergrössert man wie oben beschrieben das Achteck beliebig, bis es die Grösse des Dreiecks erreicht.
Fireangel |
murray (murray)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 86
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 13:57: |
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@fireangle: Achso - ich hab mir deinen ersten Vorschlag mal aufgemalt. Sooo meinte ich das eigentlich nicht. Stell Dir einfach vor das ist eine Mauer und kein Grashalm.
Murray |
fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 141
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 15:43: |
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Hi,
hab mir noch ein paar Gedanken gemacht. Will man ein möglichst grosses Achteck haben, dann verfahre man mit sol@tis Vorschlag wie oben beschrieben.
Soll es regelmässiger sein, kann man mit relativ geringem Aufwand folgendes machen:
Die Teilungen der zweiten Skizze folgen entsprechend bei den anderen Teildreiecken des Quadrates ABDE. Damit erhält man ein relativ grosses und relativ regelmässiges Achteck, ohne die Strecke AE (Diagonale im Achteck) vekürzen zu müssen. Zu mehr reicht meine Geduld hier nicht. Sch**** Zeichnen!!
Fireangel } |
fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 142
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 16:07: |
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Hi,
noch einmal zu sol@tis Lösung: wenn drei Eckpunkte eines Achtecks auf einer Linie liegen dürften, so wie dies in deinem Vorschlag der Fall ist, dann wäre die einfachste Lösung für das Problem, einfach 5 beliebige Punkte auf den drei Seiten des grösstmöglichen ersten Dreiecks auszuwählen und diese mit den drei Eckpunkten des Dreiecks zu Ecken eines Achtecks zu erklären. Ein "echtes" (konvexes) Achteck wird daraus aber erst, wenn tatsächlich nur je zwei Punkte auf einer Kante der Figur liegen. was ja aber nicht schwer zu erreichen ist.
murray, wie sieht deine Lösung aus?
Fireangel
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murray (murray)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 87
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 18:14: |
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Ok, dann kommt hier mal meine Lösung. Ich weis nicht ob es das größte symmetrische Achteck ist, aber es ist einfach für die Spinne zu bauen und wir wollen sie doch nicht überfordern
Die Idee dahinter ist ganz simpel. Ich habe mir überlegt wie die Spinne in Ihrer Heimat ein Netz baut, wo sie ja zwei Grashalme hat.
Um diese Bedingung auch hier zu schaffen benutze ich das Quadrat (schwarze Linien). Dann baut die Spinne die Speichen ein (dunkelgraue Linien) und mit ein paar Hilfslinien (hellgrau) legt sie die Eckpunkte fest.
So erhält sie das größte achteckige und symmetrische Netz zwischen zwei Grashalmen.
Murray |
fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 143
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 18:36: |
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Wo liegt der Eckpunkt z.B. auf der Strecke AS ?
Fireangel |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 18:57: |
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Hallo Murray,
ja genau so hab ich mir den Netzbau (im Normalfall mit 2 Halmen) vorgestellt. Deine Zeichnung täuscht aber: es handelt sich um kein "schönes" konvexes Achteck. Es ist ein verkapptes Viereck (worauf Fireangel gerade hinweist)! Daher habe ich es auch gewagt meinen Sechseck-Verschnitt als Lösung zu verkaufen. Und wie Fireangel bereits sagte: durch iterative Halbierung (nur Knoten setzen, ohne Faden) kann die Spinne theoretisch jeden Punkt erreichen. Das habe ich bei meinem Ansatz ausgeschlossen. Doch wenn sie für jeden "Hilfsknoten" einen Faden ziehen muss, entstehen mehr als 8 Speichen oder nicht konvexe Achtecke (mit echten "Einbuchtungen").
sol@ti
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murray (murray)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: murray
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 19:08: |
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Es gibt eine hellgraue Hilfslinie (geht von AB/4 nach AC/2) die ist vor dem dunkelgrauen Hintergrund ganz schlecht zu sehen. Ich schicke das Bild mal mit weisem Hitergrund, dann sollte man sie sehen:
Übrigens ist klar, das größte Netz würde auf dem Inkreis (hellblau) liegen und eine Kante liegt direkt auf der Hypothenuse das großen Dreiecks.
Das Problem ist, wie bekommt die Spinne das mit ihren Mitteln gestrickt?
Murray |
fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 144
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 19:15: |
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Also deine Lösung entspricht auch nicht deiner Aufgabenstellung. Denn dass der Schnittpunkt zweier sich kreuzender Linien als ein Knoten aufgefasst werden, das steht nirgends.
Wenn das auch gilt, dann muss ich völlig neu überlegen...
Fireangel
(Beitrag nachträglich am 12., Juli. 2002 von fireangel editiert) |
murray (murray)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 89
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 19:21: |
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@sol@ti: Hmmm, so ganz verstehe ich Deine Aussage diesbezüglich nicht. Das Netz, ist doch ganz klar achteckig und alle Kanten sind gleich lang. Konvex ist es wohl nur wenn man einen Knick in der Optik hat, aber warum muß es das sein?
(das Beispiel mit dem Sechseck ist ja auch verzerrt)
@fireangel: Natürlich ist es theoretisch möglich jeden Punkt zu erreichen durch fortgesetztes halbieren der Strecken - aber dann verhungert die Spinne bevor das Netz fertig ist
Murray |
murray (murray)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 90
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 19:26: |
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@fireangel: Achsooo, dann hab ich mir doch selbst ein Bein gestellt. Eigentlich hab ich die Aufgabe ja gestellt weil ich anfangs keine Lösung hatte.
Es scheint mir sinnvoll diese Klausel zu erlauben, schießlich entsteht ja so ein neuer Kreuzungspunkt. Warum sollte der also ungenutzt bleiben?
Mur"windet sich gerade raus"ray
PS: Da seh' ich gerade, das Sechseck basiert auch auf dieser Regel
(Beitrag nachträglich am 12., Juli. 2002 von murray editiert) |
fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 145
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 20:41: |
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warum basiert das sechseck darauf?
so wie ich das sehe, sind das alles halbpunkte, die da benutzt werden |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Juli, 2002 - 08:26: |
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Hallo Murray, das war ein kleines Mißverständnis: Ich hatte deine hellgrauen Hilflinien auf grauem Hintergrund nicht gesehen. Außerdem bin ich bei meinen Überlegungen immer von einer direkten Konstruktion ohne Hilfslinien ausgegangen (geringster Arbeitsaufwand für die Spinne). Dann müssten die Eckpunkte genau in der Mitte von AS, BS, CS, DS und damit auf einer Linie mit den angrenzenden Seitenmittelpunkten liegen - das hatte ich mit "verkapptem Viereck" gemeint. Mit den Hilflinien ist es natürlich ein regelmäßiges Achteck.
sol@ti
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murray (murray)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 93
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Juli, 2002 - 10:13: |
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Also das größte mögliche Achteck wäre ein Netz, das so aussieht als ob man ein Stopschild in die Ecke stellt.
Leider kann die Spinne ein solches nicht bauen, weil bei aller meiner Rumrechnerei immer Wurzel(2) im Spiel war und selbst mit irgendwelchen Skalierungen es keine Lösung gibt (für die Spinne).
Das heißt das größte möglich liegt tatsächlich im Einheitskreis, wobei das Stopschild auf einer Spitze steht.
Allerdings bin ich hier mit meinen Berechnungen noch nicht soweit, um sagen zu können ob die Spinne das konstruieren kann.
Murray
PS: Fireangel, vergiß das mit dem Sechseck, aber "Hilfsknoten" sind trotzdem erlaubt |
