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Onkel Hotte
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 00:00: | 
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Es war einmal am wesen sein ein großer, großer Wald. Und in diesem großen, großen, großen Wald lebte eine Bande böser, gemeiner Räuber. Eines Tages erbeutete die Bande eine nicht unbeträchtliche Menge an Goldstücken. Als es darum ging, die Goldstücke untereinander aufzuteilen, bemerkten die Räubersmänner jedoch, dass derer drei übrig blieben. Daraufhin sagte der Oberräuber zum Räuber-Azubi Detlev: "Hier, nimm ein Goldstück, kauf dir ein Snickers, und frag den Kioskbesitzer, wie wir die Beute untereinander aufteilen sollen!"
Gesägt tun getan ...
Als Detlev um die Ecke gebogen war, lachten sich die anderen Räuber jedoch einen Ast und begannen, die Beute unter sich zu verteilen; kein Goldstück blieb übrig.
Damit war jetzt aber Detlev sein großer Bruder überhaupt nicht mit einverstanden. "Ha, ha, halt, liebe Räubersfreunde! Das finde ich jetzt aber mal echt gemein finden tun!!" Sodann schwang er sich auf sein Pferd, um nach seinem Bruder zu suchen.
"Hihi, schön blöd!" befanden die anderen Räubers und teilten die Beute schleunigst unter sich auf. Diesmal blieben allerdings neun Goldstücke übrig, die sich der Oberräuber sofort einsackte.
Wiviel Räuber waren es denn nun? Und wieviel Goldstücke hätte Detlevs Bruder mindestens bekomen, wäre er nicht so bescheuert gewesen, hinter Detlev herzureiten??
Sol@ti, war das ungefähr dein Rätsel??
Z. |
Carmichael (carmichael)
Junior Mitglied
Benutzername: carmichael
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 01:59: |
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Also, dann versuch ich es nochmal.
Diesmal werd ich aber meine Nachricht speichern, was mir beim letzten Mal leider entging. :-/
r Anzahl der Räuber
g Goldmenge
v Gold für Detlevs Bruder, wenn er nicht gegangen wäre
folgender Zusammenhang geht aus der Aufgestellung hervor: v = (g-1)/(r-1); (*)
nach Vorgabe gilt:
g = 3 (mod r); (1)
g-1 = 0 (mod r-1); gdw. g = 1 (mod r-1); (2)
g-1 = 9 (mod r-2); gdw. g = 10 (mod r-2); (3)
damit besitzt g die Darstellung g = (r-2)k + 10 [k E IN].
damit gilt wegen (2):
g = (r-2)k + 10 = (r-1-1)k + 10 = -k + 10 = 1 (mod r-1):
=> k = 9 (mod r-1);
=> k = (r-1)d + 9;
also: g = (r-2)((r-1)d+9) + 10;
jetzt noch (1) verbraten:
g = (r-2)((r-1)d+9) + 10 = 2d -18 + 10 = 2d -8 = 3 (mod r);
=> 2d-11 = 0 (mod r);
Da r >= 13 gilt somit: 2d-11 >= r;
oder: d >= (r+11)/2
mithin wegen (*):
v = (g-1)/(r-1) = ((r-2)(r-1)d + 9(r-1))/(r-1) = (r-2)d + 9 >= (r-2)(r+11)/2 + 9;
und wegen r>=13 schließlich:
v >= (13-2)(13+11)/2 + 9 = 11*12 + 9 = 141;
für v = 141 gibt es bereits eine Lösung, womit v das Minimum ist.
MfG Carmichael
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 16:18: |
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Bravo Carmichael,
ein sehr schöner Beweis! Vielen Dank, dass du dir noch mal die Mühe gemacht hast. Vielleicht sollte man noch Zaphs Feststellung erwähnen, dass r ungerade sein muss (daher r>=13).
Zaph hatte die Lösung natürlich auch gefunden und an Beispielen verdeutlicht. Aber mit Beweis ist's eben noch schöner.
Lieber Onkel Hotte (hmm, unterzeichnet mit Z. - wer könnte das bloß sein?), ein großes Dankeschön für die gelungene Neufassung des Textes. Du hast meine etwas angestaubte Ausdrucksweise modernisiert und mit köstlichem Wortwitz belebt, vielleicht sollte ich dich überhaupt als Ghostwriter engagieren ;-)
Viele Grüße
sol@ti
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1212
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 17:56: |
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Ja, wirklich sehr schön, Carmichael! Hartneckiges Rechnen wird manchmal tatsächlich belohnt. Natürlich hatte ich die Lösung nicht, sondern nur eine Vermutung. Noch als Ergänzung für diejenigen, die die ursprüngliche Aufgabe nicht gelesen haben: bei v=141 ist r=13.
Sol@ti, du brauchst keinen Ghostwriter! Willst du nicht mal ein Buch mit deinen gesammelten Werken herausgeben? :-)
Mit deiner Vermutung über den rätselhaften Z. lagst du übrigens nicht ganz falsch ... ;-) |
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