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Beitrag |
    
Toni
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 16:50: | 
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Wie findet man natürliche Zahlen a, b, c, die die Gleichung 1/a² + 1/b² = 1/c² erfüllen?
Beispiel:
1/15² + 1/20² = 1/12²
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 17:37: |
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Hallo Toni!
1/a²+1/b²=1/c² mult. mit a²b²c²
(bc)²+(ac)²=(ab)²
also muss (bc,ac,ab) ein pythagoräisches Zahlentripel (PZ) sein.
Sei (p,q,r) ein beliebiges PZ, n eine natürliche Zahl (Skalierungsfaktor für p,q,r)
Ansatz: bc=np, ac=nq, ab=nr (Bem.: (np,nq,nr) ist für jedes n auch PZ)
c=np/b, a=nr/b in 2.Gleichung einsetzen:
nr/b * np/b = nq, also
b=sqrt(nrp/q) und damit
c=np/sqrt(nrp/q)=sqrt(npq/r)
a=nr/sqrt(nrp/q)=sqrt(nqr/p)
wähle n=pqr damit die Wurzeln verschwinden
a=sqrt(pqrqr/p)=qr
b=sqrt(pqrrp/q)=pr
c=sqrt(pqrpq/r)=pq
Beispiel: p=3, q=4, r=5 ==> a=20, b=15, c=12
sol@ti
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Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 18:19: |
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Hi sol@ti, das ist ja von der Zeit rekordverdächtig! Hattest du die Lösung schon in der Schublade? |
Toni
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 18:24: |
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ach so einfach ist das, ich habe verstanden. Danke.
Dann wären die weiteren also:
1/(12*13)² + 1/(5*13)² = 1/(5*12)²
1/(15*17)² + 1/(8*17)² = 1/(8*15)²
1/(24*25)² + 1/(7*25)² = 1/(7*24)²
1/(21*29)² + 1/(20*29)² = 1/(20*21)²
...
allles klar!
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 18:26: |
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Nein, war eher spontan. Hab drauf los gerechnet und gewartet, wann der Faden abreisst. Ich war selbst überrascht, dass es mit n=pqr so einfach wird.
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