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Beitrag |
    
Timmy Trickster
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 20:26: | 
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Christina stellt ihrem Vater eine Frage:``Fünfmarkstücke haben einen Durchmesser von 29mm und Pfennige von 16,5mm. Wenn ich drei Fünfmarkstücke so aneinanderlege, dass sie sich alle gegenseitig berühren, bleibt in der Mitte eine dreieckige Lücke frei. Hat in dieser Lücke ein Pfennigstück Platz?´´
Ihr Vater antwortet schnell:``Nein, unmöglich. Das habe ich gerade im Kopf ausgerechnet.´´
Christina frägt ihn darauf hin:``Wie groß dürfte die Münze den höchstens sein?´´ Ihr Vater muss passen weil er sie angelogen hat.
Nun die Frage an euch:``Wie groß darf die Münze den maximal sein?´´
Versucht eure Antwort nach der Möglichkeit an einer Skizze/Zeichnung zu erklären.
Danke schön schon mal.
Timmy Trickster, Plochingen |
DULL (dull)
Neues Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 14:38: |
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Hi Timmy!
Ich habe eine Lösung gefunden: Der Durchmesser kann max. 4.486315618 mm betragen. Den gesamten rechenweg ausführlich dartzulegen schaffe ich nicht. Darum skiziere ich ihn nur kurz:
Ich habe versucht die 5-DM-Stücke als Funktionen in ein Koordinatensystem zu legen. Dazu habe ich jeweils nur eine Hälfte betrachtet, also Halbkreisgleichungen aufgestellt, nähmlich:
f1(x)=wurzel(210,25-(X-14,5)^2) und
f2(x)=wurzel(210,25-(X+14,5)^2)
Es sind also Halbkreise mit dem radius 14,5 (mm), die um 14,5 (mm) nach links bzw. rechts verschoben sind.Sie berühren sich also im Ursprung.
Die dritte Halbkreis-Gleichung habe ich so gelegt, dass ihr Mittelpunkt auf der y-Achse liegt. Es gilt also:
f3(x) = - Wurzel(210,25-X^2)+b
ferner soll der Graph von f3 den von f1 und f2 berühren. Ich habe die Lösungen für b beim Schnitt mit f1 ermittelt und danach geguckt, für welches b es genau eine Lösung gibt. Das ist der Fall für b=25,1147...
Also gilt: f3(x)= -wurzel(210,25-X^2)+25.11473671
Die kleine Münze berührt (um die größte Fläche zu besitzen) alle 5-DM-Münzen. Die entstehende Figur ist symmetrisch. Die Steigung der Tangenten in den Berührpunkten an f1 und f2 muss also +/- 60° sein. Ich habe also die Ableitung von f1 gebildet und den entstehenden Term mit tan(60°) gleichgesetzt. Dieser ist demnach bei x= 1.942631645
Nun hat man 2 Punkte, denn man kennt den zugehörigen y-wert bei x=1.942631645 und den punkt, in dem f3 berührt wird. Aus der daraus resultierenden kreisgleuihung kann man ablesen, dass gilt: r= 2.243157809, also d=4.486315618 mm
Dies war zwar sicher nicht der eleganteste Weg, aber er hat (so hoffe ich) zu einer Lösung geführt.
Wenn du Probleme beim verständnis hatetst, dann tut es mir Leid, ich mbin etwas in Zeitdruck.
Kannst ja ggf. noch mal mailen.
Schöles Wochenende, DULL
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Seppi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 21:47: |
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Viel einfacher kann man das ganze lösen, wenn man es von der geometrischen Seite betrachtet.
Wenn sich drei gleichgroße Kreise berühren, bilden deren Mittelpunkte ein gleichseitiges Dreieck und auf dem Schnittpunkt ihrer Winkelhalbierenden liegt der Mittelpunkt des gesuchten Innkreises.
D.h. man muß nur ein rechtwinkliges Dreieck betrachten dessen eine Kathete (R/2) = 14,5mm, Hypertenuse = R + r und der eingelossenen Winkel = 30° ist.
Lösung: cos 30° = (R/2)/(R+r)
r = (14,5 / cos30°)- 14,5
r= 2,243mm => d= 4,486 mm |
Timmy Trickster
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 12:54: |
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Hi Leute!
Danke Seppi, diese Lösung hatte ich auch schon im Sinn, der letzte Tick hat aber noch gefehlt. Danke schön!
Auch dir danke dull! Deine Lösung war aber ein wenig zu hoch für mich! Trotzdem danke. |
DULL (dull)
Neues Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 16:52: |
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*schnief*
so einfach wars und ich fahre so schwere Geschütze auf. Ich hatte den gleichen Grundgedanken wie Seppi, hab ihn dann aber wieder verworfen....
Naja, wer es nicht im kopf hat, muss viel rechen  |
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