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Beitrag |
    
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 19:36: | 
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Schaut mal, was ich im Internet Hübsches gefunden hab: Ein Quadrat wird zum gleichseitigen Dreieck!
Das möcht' ich gerne basteln. So richtig als Laubsägearbeit mit kleinen Scharnieren zum Aufklappen. Leider habe ich keine Maße :-(
Könnt ihr mir sagen, wo genau ich die drei Schnitte im Quadrat ansetzen muss?
sol@ti
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 19:53: |
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Tut mir leid, das mit dem Bild einfügen klappt offenbar nicht. Hier die URL: http://www.tessellations.com/SquareTriMovie.GIF
sol@ti |
Inserter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 20:22: |
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M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 21:07: |
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Hallo Sol@ti,
vielleicht bekäm ich das heraus, wenn man einmal das Bild stoppen könnte in folgenden Zuständen:
1. Quadrat
2. Gleichseitiges Dreieck
Wer kann das ?
Mit freundlichen Grüßen
M. |
Kirk (kirk)
Neues Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 22:01: |
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Hallo,
diese Zerlegung stammt von dem englischen Rätselerfinder Ernest Dudeney.
Die oberen Scharniere liegen in den Seitenmitten des Dreiecks. Dann gehst du von beiden Punkten senkrecht runter (*) auf die Grundseite, verbindest den linken Punkt mit der rechten Seitenmitte und zeichnest auf diese Strecke von den beiden anderen Punkten Lote.
An der Stelle (*) müsste eigentlich eine etwas komplexere Konstruktion stehen, aber wenn man senkrecht runter geht, macht man nur einen minmalen Fehler.
So genau, dass das auffallen würde, kannst du bestimmt nicht sägen  . Falls doch, so verschiebe bei einer Seitenlänge des Dreiecks von 10 cm den linken Punkt um knapp 1mm, den rechten um ca. 0,5 mm nach rechts.
Grüße,
Kirk
PS: Ich habe die exakte Konstruktion, falls es dich interessiert.
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 08:59: |
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Hi Kirk,
ja, die exakte Konstruktion interessiert mich sehr! Du hast natürlich recht, dass deine Näherungskonstruktion zum Basteln völlig ausreicht (bei 10 cm Dreieckseite müsste man übrigens beide Punkte um 0.685 mm nach rechts verschieben).
Mich beschäftigt aber die Frage, ob man die Konstruktionsmaße exakt berechnen kann. Ausgehend von einem Quadrat mit Seitenlänge s, ist die Seitenlänge a des flächengleichen gleichseitigen Dreiecks leicht zu berechnen: a = s*2/(3^(1/4)). Deutet diese vierte Wurzel darauf hin, dass das Problem wieder auf Gleichungen 4.Grades führt? Andererseits, über eine exakte Konstruktion müssten doch die Maße mit Hilfe der analytischen Geometrie exakt zu berechnen sein. Da steckt offenbar ziemlich schlaue Mathematik dahinter!
@Inserter: Danke!
@M.: Ich habe absichtlich eine Animation gewählt. Es soll ja nicht zu einfach sein ;-)
sol@ti
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M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 09:59: |
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Hallo sol@ti,
na gut. Ist schon in Ordnung. Ich habs mir aber trotzdem leicht gemacht und einfach die Seite ausgedruckt. Man erhält zumindest schon mal das Quadrat! ;-))
Mal sehen, ob ich heute irgendwann Lust bekomme, mich mit der Elementargeometrie zu beschäftigen. Elementargeometrie ist nicht gerade mein Gebiet, das mag ich nicht so sehr...
Mit freundlichen Grüßen
M. |
Kirk (kirk)
Neues Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 13:36: |
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Hallo,
ich werde die exakte Konstruktion heute Abend nachliefern. Ich habe irgendwann mal (für ein Zahlenbeispiel) die Koordinaten der Punkte berechnet und wie ich gerade bemerke, die Ergebnisse falsch gerundet. Du hast recht, sol@ti, beide Punkte müssen um den selben Betrag nach rechts verschoben werden.
Das Problem ist exakt lösbar. Benötigt werden nur elementare Hilfsmittel (Geraden bzw. Kreise miteinander schneiden.)
Bis später,
Kirk
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Kirk (kirk)
Neues Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 17:58: |
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Hallo so@lti,
Ich habe schon vermutet, dass es dir nicht wirklich um die Laubsägearbeit ging, sondern eher ums Mathematische.
Hier die Konstruktionsvorschrift:
Ich gehe vom gleichseitigen Dreieck aus, A ist der Punkt links unten, B rechts unten und C die Spitze. D sei die Mitte von AC, E die Mitte von BC.
- Verlängere AE über E hinaus.
- Zeichne auf der Verlängerung einen Punkt F so ein, dass d(E,F)=d(E,C).
- Sei G die Mitte von AF. Zeichne einen Kreis um G durch A.
- Der Kreis schneidet die Gerade durch E und C (oben) in H.
- Zeichne einen Kreis um E durch H.
- Der Kreis schneidet die Dreiecksseite AB in J.
- K wird auf Seite AB so gewählt, dass d(J,K)=d(C,E)
- Zeichne nun EJ ein. Das ist dein erster Schnitt.
- Die beiden weiteren Schnitte sind die Lote von D bzw. K auf EJ.
Für ein Dreieck mit Kantenlänge 12 habe ich als Länge der Strecke AJ berechnet: 9-3*sqrt(4*sqrt(3)-3)=3,0540...
Nach Multiplikation mit 10/12 ergibt dies 2,5450..., also eine Verschiebung um 0,0450... nach rechts. Das stimmt nicht mit dem von dir genannten Wert überein.
Falls ich einen Rechenfehler gemacht habe, würde ich ihn gerne finden und korrigieren. Wie zuverlässig ist denn dein Wert bzw. wie hast du ihn ermittelt?
Grüße,
Kirk
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 08:05: |
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Hallo Kirk,
das ist ja eine ausgeklügelte Konstruktion - die ich natürlich sofort in meine Sammlung aufgenommen habe! Ich hab's analytisch nachgerechnet und komme auf die selben Formeln wie bei meinem ursprünglichen Ansatz (vom Quadrat ausgehend).
Deine Berechnung für AJ kann ich damit ebenfalls bestätigen. Und unsere Zahlenwerte für die Rechtsverschiebung stimmen auch überein: ich bin ja vom 10cm-Quadrat ausgegangen, das entspricht einem 15,20cm-Dreieck, dann stimmt die Umrechnung. Die allgemeine Formel (Dreiecksseite a) für diese Verschiebung ist (2-sqrt(4*sqrt(3)-3))/4 * a ~ a/222 (Schnapszahlen sind leichter zu merken ;-)
Hab wieder was Interessantes dazu gelernt, vielen Dank!
sol@ti
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Kirk (kirk)
Neues Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 23:14: |
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Keine Ursache, hab ich gerne gemacht.
Kirk
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