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murray (murray)
Neues Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 16:13: | 
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Hallo,
folgende Gleichung steht im Raum: x²+Wurzel(x)=84
Die Lösung selbst hab ich durch rumprobieren herausgefunden, aber wie sieht der Lösungsweg aus?
Murray
PS: Ich verrate die Lösung nicht, ihr sollt es ja ausrechnen |
gambo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 16:34: |
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9, aber wie mans umformen muss keine ahnung *g* |
murray (murray)
Neues Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 18:20: |
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@gambo: Wie ich schon schrieb, die Lösung läßt sich schnell ausprobieren, aber hier ist der Weg das Ziel.
Murray |
Zaph (zaph)
Neues Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 18:52: |
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Hallo Murray,
substituiere x = z² => z^4 + z - 84 = 0.
Da vor der höchsten z-Potenz eine 1 steht, kommen als rationale Lösungen nur ganze Zahlen in Frage, und diese müssen ein Teiler von 84 sein. Da z positiv ist, kommen als rationale Lösungen also nur
1, 2, 3, 4, 6, 7, 14, 21, 42, 84, (habe ich was vergessen?)
für z in Frage. Damit musst du wenigstens nur endlch viele Werte ausprobieren.
Polynomdivision ergibt dann
z³ + 3z² + 9z + 28 = 0
Das ist immer positiv (und nie 0), wenn z positiv. Also keine weiteren Lösungen. |
Szymi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 19:54: |
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Ok, ich hab es etwas umständlicher und deshalb auch länger gebraucht *ggg*
Dafür komme ich ohne die Substitution x = z² aus, die ich zwar im Nachhinein betrachtet total genial finde, aber wie kommt man darauf, wenn man kein Genie ist ? *ggg*
wenn an einer Wegabzweigung zugelassen ist, aus 90 (*ggg*) Möglichkeiten zu raten, wohin es zum Ziel weitergeht, würde ich das so angehen, wie man halt Wurzelgleichungen angeht:
Wurzel isolieren, quadrieren, ...
x² + Wurzel(x)=84 |-x²
Wurzel(x) = 84-x² |quadrieren
x = 84² - 168x² + x^4
x4 - 168x² - x + 84² = 0
jetzt kommt eine Verzweigung, wo geraten wird:
(wobei nicht blind aus unendlich vielen Möglichkeiten heraus geraten wird, es wird nur blind darauf vertraut *ggg*, dass es eine ganzzahlige Lösung gibt)
die Teiler der Zahl 84² ergeben sich aus ihrer Primfaktorzerlegung
84² = 2^4 *3^2 *7^2
also: ±{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 48, 49, 56, 63, 72, 84} und die komplementären, also 84²/(eine dieser Zahlen), das sind maximal 90 Zahlen, die durchprobiert werden müssten, und man hat schon bei x=9 Erfolg, also Polynomdivision:
(x4 - 168x² - x + 7056) : (x-9) = x³ + 9x² -87x -784
eigentlich müsste ich jetzt noch den Faktor x³ + 9x² -87x -784 nach Nullstellen absuchen, aber dazu habe ich 1. keine Lust und 2. hoffentlich einen plausiblen Weg gefunden:
Die Nullstellen dieses Faktors könnten die Gleichung x² + Wurzel(x)=84 erfüllen, sie müssen dies aber nicht. Ich zeige nun lieber, dass x=9 die einzige Lösung der Gleichung x² + Wurzel(x)=84 ist:
Betrachte dazu den Graphen von
f(x) = x² + Wurzel(x) -84
für ihn gilt f'(x) = 2x + 1/2Wurzel(x)
und das ist im Definitionsbereich der gegebenen Gleichung nie negativ, und wenn gilt:
f'(x) > 0, dann ist die Funktion f(x) (zwar nicht streng, aber: ) monoton wachsend.
Das heißt, die Funktion f(x) = x² + Wurzel(x) -84 kann nur eine (reelle) Nullstelle haben, und die liegt bei x=9, wie durch Einsetzen der oben aus 90 Zahlen geratenen gezeigt wird.
Also ist x=9 eine Lösung der Gleichung x² + Wurzel(x) = 84
Die komplexen Lösungen suche ich lieber nicht, nur eben noch gezeigt, dass die eine reelle Lösung der Gleichung x³ + 9x² -87x -784 = 0 keine Lösung der gegebenen Gleichung ist, wobei die sich nach der Lösungsformel der kubischen Gleichung und anschließender Polynomdivision ergibt, mit
x³ + 9x² -87x -784 = 0
mit a=9, b=-87, c=-784 in
((-(2*a^3-9*a*b+27*c)/2 + ((2*a^3-9*a*b+27*c)^2/4+(3*b-a*a)^3)^(1/2))^(1/3) + (-(2*a^3-9*a*b+27*c)/2 - ((2*a^3-9*a*b+27*c)^2/4+(3*b-a*a)^3)^(1/2))^(1/3) -a) /3
eingesetzt ergibt sich
x= 1/3*(12663/2+1/2*(344817)^(1/2))^(1/3) + 1/3*(12663/2-27/2*(473)^(1/2))^(1/3)-3
also 9.33 < x < 9.333
und damit ist klar, dass dieses x keine Lösung von x² + Wurzel(x)=84 ist, auf die Suche nach den weiteren Lösungen verzichte ich lieber *gg* |
Szymi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 20:01: |
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ach ja: du hast die 12 und die 28 als Teiler vergessen, aber die sind ja nicht mehr wichtig, wenn du vorher schon 1, 2 und 3 probiert hast *ggg*
Vorteil bei deiner Methode finde ich auch, dass die Gleichung z³ + 3z² + 9z + 28 = 0 keine reellen Nullstellen mehr haben kann, die man noch prüfen müsste.
MfG Szymi |
Zaph (zaph)
Junior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 20:13: |
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Hallo Szymi, danke für das "Genie" :-) Aber den einen oder anderen Trick sollte man immer aus der Tasche ziehen können, und das hier (Substitution) sollte in jedermanns Trickkiste zu finden sein. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 20:42: |
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Hallo Szymi und Zaph,
danke auch von mir für die Lösungen. Hatte auch erst die Substitution wie Zaph im Sinn, aber dann hatte ich (dummerweise) doch die Variante von Szymi gewählt. Dank Szymi habe ich nun herausgefunden, dass ich (obwohl 5-mal gerechnet) bei der Polynomdivision immer +87x anstatt -87x ausgerechnet hatte und somit auf kein vernünftiges Ergebnis gekommen bin!
Jetzt verstehe ich, warum man manchmal am verzweifeln ist !
Mit freundlichen Grüßen
M. |
murray (murray)
Neues Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 10:54: |
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Hallo Zaph,
also substituiert hatte ich auch erst, aber wie kommt man von:
z^4 + z - 84 auf z³ + 3z² + 9z + 28 = 0?
Murray
PS: Meine Mathematikkenntnis reicht leider nur bis x² 
(Beitrag nachträglich am 05., Juli. 2002 von murray editiert) |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 11:48: |
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Hallo murray,
führe Polynomdivision durch:
(z^4+z-84) : (z-3)
Ihr wißt nämlich, dass x=9 Lösung ist. Zaph hat substituiert:
x=z²
Dann ist z=3 eine Lösung.
(z=-3 geht nicht, denn (-3)^4-3-84=78-84=-6<0)
Mit freundlichen Grüßen
M. |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 15:56: |
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Hallo,
nur eine kleine Bemerkung. Aus der Gleichung z4+z-84=0 (nach Zaphs Substitution) folgt durch normierte Gerschgorin-Abschätzung: z <= 84^(1/4) ~ 3.0274
Wenn man also eine ganzzahlige Lösung vermutet, muss man nur die Teiler 1,2,3 probieren!
sol@ti
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murray (murray)
Neues Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 18:29: |
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Danke, ihr habt mir sehr geholfen.
Murray |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 20:05: |
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Hallo sol@ti,
die guten alten Gerschgorinkreise. Die hab ich noch immer nicht verstanden...
Aber ich glaube dir!
;-)
Mit freundlichen Grüßen
M. |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 08:10: |
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Hallo M.,
du solltest mir aber nicht glauben! Hab nämlich schlampiger Weise einen Term vergessen. Tatsächlich muss die Abschätzung so lauten: z <= 84^(1/4)+84^(-1/2) ~ 3.1365 . Aber es kommen trotzdem nur 1,2,3 als ganzzahlige Lösungen in Frage.
sol@ti
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Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 09:16: |
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Hier brauch man keine schweren Geschütze aufzufahren, um eine Abschätzung zu bekommen.
Da z = x² > 0, folgt
0 = z^4 + z - 84 > z^4 - 84, also z^4 < 84.
1, 2, 3 sid also die einzig möglichen (sogar) rationalen Lösungen. |
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