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murray (murray)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 100
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 16:23: | 
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Hallo,
es gilt zu beweisen, daß für die Menge aller mathematischer Formeln (und deren Verknüpfungen) gilt "sie sind logisch". Woraus sich dann schlußfolgern läßt die ganze Mathematik ist logisch.
Und jetzt laßt Euch mal ein paar, nicht unbedingt ernst gemeinte, kreative Beweise einfallen. 
Murray |
murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 101
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 16:41: |
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Ich wage mal einen Anfang, um zu zeigen wie schwer das ist
Sei M() die Menge aller mathematischen Ausdrücke.
Dann sei M(0) die leere Menge.
Es gibt aber keine Mathematik ohne eine Formel (oder Ausdruck) - das ist unlogisch. Damit müssen wir zumindest die leere Menge ausschließen.
M(1) sei ein einfacher mathematischer Term, der per Definition logisch ist (z.B. 1) - Induktionsanfang)
M(n) sei logisch wenn M(1), M(2), ..., M(n-1), M(n) logisch sind.
M(n) ist also logisch wenn M(1) und M(2) und ... M(n-1) und M(n) logisch sind.
Also auch wenn M(Element1 und E.2 und ... und E.n-1 und E.n) logisch (also wahr ist).
Das gilt aber nur wenn jeder einzelne Ausdruck logisch ist.
Es bleibt zu zeigen M(n+1) logisch ist.
Da M(n+1) logisch, wenn M(n) und M(n+1) gleich M(E.n und E.n+1) logisch. Naja, und genau das ist der Fall.
q.e.d.???
Murray |
;-)
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 16:54: |
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Hallo murray,
hast du meinen letzten Kommentar an ´Araber´ gelesen?
Also:
Angenommen, es gibt eine nicht logische Aussage. Dann widerspricht sie zumindest einem Axiom eines Axiomensystems. Dann ist das Axiomensystem nicht widerspruchsfrei und damit (logischerweise) falsch. Also bastele ich mir wieder solange Axiome zusammen, bis ich ein Axiomensystem konstruiert habe, in dem die Aussage logisch ist (sich also aus den Axiomen folgern läßt).
Wenn sich so etwas nicht konstruieren lassen sollte, folgt die logische Konsequenz:
"Ausnahmen bestätigen die Regel!".
Also kann die unlogische Aussage nur eine (von evtl. mehreren) Ausnahmen sein.
Bitte nicht ernst nehmen!!!
Aber mal ernsthaft:
Wie will man beweisen, dass alle Aussagen der Mathematik logisch sind? Bei diesem Beweis verwendet man die Logik dann wieder, setzt sie also voraus.
Was also hieße, dass man die Aussagenlogik nicht beweisen, sondern axiomatisieren (heißt das so?)bzw. definieren muß.
Nur auch alle Aussagen, die sich aus der Definition/Axiome ergeben, ergeben sich ´logischerweise´.
;-)) |
;-)
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 17:01: |
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Da fallen mir noch 4 ganz schöne Beweise ein:
1. Ergibt sich direkt aus Definition der Mathematik!
2. Wie man leicht sieht (mit etwas Überlegen), kann die Mathematik nur logisch sein!
3. Der Beweis sei dem Leser überlassen!!!
4. Trivial!
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fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 120
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 17:08: |
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HI,
was sagst du dazu:
Mathematik bezeichne die Menge M aller mathematischer Ausdrücke. M sei unlogisch, wenn mindestens ein Element von M unlogisch ist. EIn Element gelte als unlogisch, wenn es sich weder mathematisch beweisen lasse, noch mit dem menschlichen Verstand erfassen.
Annahme: Es gibt ein unlogisches Element in M. Damit wäre M unlogisch. Zitat aus der Aussagenlogik: "Aus etwas falschem, kann man alles folgern". Demnach wäre jeder Ausdruck mittels M zu beweisen, was bedeutet, das es keine unlogischen Ausdrücke gibt. Widerspruch zur Annahme.
Also sind alle Elemente von M logisch.
Fireangel |
;-)
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 17:16: |
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Hallo Fireangel,
klingt ja logisch!
Nur was hast du benutzt?
Die Logik an sich! Definier mal logisch, ohne die Logik zu benutzen. Ein Beweis ist eine Verknüpfung von logischen Operationen! |
;-)
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 17:18: |
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Was heißt denn:
Nicht mit dem menschlichen Verstand erfassen? Jeder Mensch hat ein anderes Verständnis (behaupte ich mal ohne Beweis!). |
fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 121
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 17:35: |
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Hey,
1.) schon im allerersten Beitrag steht drin:
"...nicht unbedingt ernst gemeinte, kreative..."
(was man von deinen vier letzten Vorschlägen nicht behaupten kann, das sie Kreativ wären)
2.)Lass meinetwegen den Teil mit dem menschlichen Verstand weg, wenn du mit sowas ein Problem hast:
Es geht auch ohne, aber dann kommen Leute, die sagen, es gibt auch Dinge, die man mathematisch nicht beweisen kann, aber die trotzdem losgisch sind (ohne das ich mich jetzt mit dir auf eine Diskussion DARÜBER einlassen werde.
3.)Wenn ich schreibe, das etwas logisch ist, was man mit Mathematik beweisen kann und es steht nicht fest, das die Mathematik logisch ist, dann beweise ich Logik eben nicht mit Logik. Ich widerlege lediglich Unlogik durch Unlogik.
Und du setzt mit deinem Verständnis schon voraus, das Mathematik logisch ist, so dass man mit der Logik der Mathematik dann die Logik der Mathematik beweisen würde, ein nicht zulässiger Zirkelschluss.
4.)Ich soll dir logisch ohne Logik beweisen? Wurde nie verlangt. Ich soll nur die Logik IN DER MATHEMATIK beweisen. Gäbe es keine Definition von "logisch", dann wäre solches in der MAthematik nachzuweisen nicht möglich. Diese ausserhalb der Mathematik stehende Definition von Logik hat übrigens dann wieder mit gesundem Menschenverstand zu tun (ach richtig, nicht dein Ding ;))
5.) Vor allem: 1.)!!!
Fireangel
PS: ich will dich damit nicht persönlich angreifen, wenn etwas so klingen sollte, entschuldige ich mich gleich mit, dass ist nicht die Diskussion, die hier geführt werden sollte.
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;-)
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 17:50: |
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Hallo Fireangel,
bitte nimm meine Kommentare auch nicht zu ernst. Wollte lediglich mal verdeutlichen, wie genau man das Thema ergründen könnte. Aber eigentlich habe auch ich mich auch auf die Aussage:
"...nicht unbedingt ernst gemeinte, kreative..."
bezogen und wollte mir mit meinem Kommentar eigentlich lediglich einen kleinen Spaß erlauben und deinen Beweis zerstörren!!!
Ne, kreativ sind meine 4 Beweise wirklich nicht, aber wie häufig liest man so etwas (ähnliches) in einem Mathebuch?
Wodran willst du das denn festmachen:
- Diese ausserhalb der Mathematik stehende Definition von Logik hat übrigens dann wieder mit gesundem Menschenverstand zu tun (ach richtig, nicht dein Ding ;))
Schließlich ist die obige Aussage (vielleicht) auf meinem Mist gewachsen.
Sagte ja zu ´Araber´:
"Alles in der Mathematik ist logisch und umgekehrt..." oder so ähnlich.
PS: Zerstörre doch einfach meinen ersten ´Beweis´. Dürfte kein Problem sein |
fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 125
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 20:00: |
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ok,
Wenn ich dich frage, ob hellgrün heller als dunkelgrün ist, dann ist deine Antwort (bzw. könnte sein) : LOGISCH!
Das hängt auch nicht vom Verständnis von Hell und Dunkel oder Grün ab. Das hell heller als dunkel ist, ist logisch. Und hat nichts mit Mathematik zu tun (oder höchstens in konstuierten Fällen).
Es gibt also ausserhalb der Mathematik eine Logik. Man könnte nun sagen: alles, was unabhängig von einer bestimmten sichtweise jedermann einleuchtet, ist logisch.
"Logik" und "logisch" leiten sich vom altgriechischen "logos" = Wort,Lehre ab. (siehe BioLOGIE=LEHRE vom Leben, usw.)
Logik ist also eine allumfassende "LEHRE", damit nach meinem Verständnis von LEHRE eine Zusammenfassung von nachweisbaren Tatsachen.
Das Äpfel laut Newton nach unten fallen, ist logisch, das hell heller ist als dunkel, das Menschen ohne Herzaktivität nicht lange leben usw.
Soviel zur allgemeinen Definition der Logik.
Nun zur Mathematik: zu beweisen ist nun, das die Mathematik komplett logisch ist. D.h. dass man alle Prinzipien, alle Sätze, alle Ausdrücke der Mathematik eben beweisen kann.
Womit nun? das ist klar: mit Definitionen. Man definiert ganz primitive Dinge (Axiome) aus denen man dann den Rest der Ausdrücke beweist.
Diese Definitionen sind nach bestem Wissen entsprechend einer logischen, also NACHVOLLZIEHBAREN Grundlage erfolgt.
Damit ist die ganze Mathematik logisch (per Definition, wie du übrigens schon bemerktest und wie es langweiligerweise auch in vielen Schulbüchern steht )
Nun gilt es hier einen Beweis dafür AUSSERHALB dieser Definition zu finden. Dafür kann und muss man die Logik ausserhalb der Mathematik annehmen, bzw. akzeptieren. Und nun kann man über die Axiome, wie du und genauso über einen Widerspruch innerhalb der Ausdrücke, wie ich (was im Endeffekt sogar der gleiche Ansatz ist) beweisen, dass es keine Unlogik in der Mathematik geben kann.
Nebenbei könnte man auch die Logik der Mathematik über das Verbot der Unlogik (Beispiel: teilen durch 0) beweisen. Ein Punkt, der gar nicht so bedeutungslos ist. Wo nämlich dieses Grundprinzip der Logik der Mathematik nicht greift, wird die MAthematik eben eingeengt.
Naja, das ist aber eine andere Diskussion.
Alle Klarhheiten beseitigt?
Fireangel
PS: ich werde bestimmt keinen richtigen Ansatz zerstörren und keine Angst, ich nehme deine Kommentare nicht zu ernst... |
;-)
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 23:08: |
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Hallo Fireangel,
ich denke, wir haben so ziemlich die gleichen Ansichten. Nur ob diese so richtig sind, ist eine andere Frage. Man kann alles anzweifeln. Auch die "Logik". Egal ob man die als ´natürlich´ ansieht oder wie auch immer. Das wollte ich nur zum Ausdruck bringen.
(abgesehen davon, dass ich mir diesen kleinen Streich erlaubt habe)
Und auch das ist gar nicht so unbedeutend:
Sonst würden wir heute noch glauben, die Erde sei eine Scheibe!
Auch in der naiven Mengenlehre, die lange Zeit einfach glaubhaft übernommen wurde, fand man (meines Wissens) erst die ´Unlogik´ mit dem "Russel-Paradoxon" (wenn das so heißt):
Definiere M:={N für die gilt: N ist Menge und N ist kein Element von M}
Wenn M aus M => nach Definition der Eigenschaft der Elemente von M: M ist nicht aus M (Widerspruch)
Wenn M nicht aus M => nach Definition der Menge M: M ist in M gelegen (Widerspruch)
Und nun? M ist doch aber eine Menge. Man muß sich Gedanken über die Richtigkeit der naiven Mengenlehre machen!
Verwirrt? Oder ist klar, was ich meine? |
murray (murray)
Neues Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 10:04: |
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Also eins scheint mir klar, man kann die Mathematik nicht mit ihrer eigenen Logik beweisen. Also hier ein etwas philosophischerer Ansatz von mir:
1. Definition von Logik
Philosophisch läßt sich Logik als "vom menschlichen Verstand erfaßbar" definieren. Wir betrachten hier nicht den IQ von einzelnen Personen, sondern schauen auf die allgemeine Menschheit.
Etwas Unlogisches wäre dem zufolge "nicht erfaßbar".
2. Was ist ist Mathematik
Im Grunde ist die Mathematik eine Sammlung von AxiomSystemen. Jedes dieser AxiomSysteme enthält seine eigenen Axiome. Natürlich ist es möglich diese mit einander zu verknüpfen um neu System zu bauen (nicht immer sinnvoll).
Mathematik entwickelt sich aber auch weiter und das ist nur mit Problemen möglich, welche zunächst (nach Definition) unlogisch sind.
Betrachten wir nur die Menge der logischen Elemente, so können wir schnell zu dem Schluß kommen das Mathematik logisch wäre, aber ohne offene Probleme gäbe es keine Weiterentwicklung mehr.
Da ich aber nun keine Mathematik heranziehen kann um zu zeigen das, wenn nur ein Element der Mathematik unlogisch ist, die Mathematik insgesamt unlogisch ist, ziehe ich mich geschickt philosophisch aus der Affaire.
EndeSatz:
"Mathematik ist zum größten Teil logisch."
Übrigens lassen sich die offenen "unlogischen" Probleme der Mathematik irgendwann (aufgrund der Weiterentwicklung) auch in logische Axiome fassen.
Wenn man nun annimmt das die Menge der Probleme endlich wäre, so liese sich in endlicher Zeit eine vollständig logische Mathematik konstuieren.
Es gilt also noch zu zeigen das bei der Lösung eines Problems mindestens ein neues entsteht, denn sonst werden es immer weniger
Murray
PS: Ein Satz wie "Mathematik ist logisch und umgekehrt" ist also, so hingestellt, nicht korrekt.
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;-))
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 17:47: |
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Hallo Murray,
Zitat von dir:
PS: Ein Satz wie "Mathematik ist logisch und umgekehrt" ist also, so hingestellt, nicht korrekt.
Das ist hier die (philosophische) Frage. Ist er korrekt? Vielleicht ist er korrekt, aber nicht beweisbar...
(innerhalb eines ´logischen´ Axiomensystems vielleicht schon?)
- Es gilt also noch zu zeigen das bei der Lösung eines Problems mindestens ein neues entsteht, denn sonst werden es immer weniger.
Und wenn es nun überabzählbar viele Probleme gibt? Wenn du aus der Menge der reellen Zahlen die natürlichen streichst, welche Mächtigkeit hat deine Menge?
Die selbe wie die reellen Zahlen!
Voraussetzung wäre, es gibt nur abzahlbar unendlich viele Probleme... |
;-))
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 17:48: |
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Sorry, sollte heißen:
Voraussetzung wäre, es gibt nur abzahlbar endlich viele Probleme... |
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