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Z. (azr)
Neues Mitglied
Benutzername: azr
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 02:02: | 
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5 Schiffbrüchige und ein Äffchen stranden auf einer Insel. Sie sammeln Kokosnüsse als Proviant und werfen alle auf einen Haufen. Am nächsten Tag sollen sie verteilt werden.
Doch nachts steht einer der Männer auf, teilt den Haufen durch 5 und stellt fest, daß dabei eine Nuss übrigbleibt. "Seinen" Fünftel buddelt er für sich heimlich ein, die eine übriggebliebene Nuss steckt er dem Äffchen zu und die anderen Nüsse läßt er für den nächsten Tag stehen.
Der Zweite wacht auf... usw. (Teilt durch fünf, Rest 1 -> Äffchen, Fünftel verbuddeln)
Der Dritte wacht auf... usw. (Teilt durch fünf, Rest 1 -> Äffchen, Fünftel verbuddeln)
Der Vierte wacht auf... usw. (Teilt durch fünf, Rest 1 -> Äffchen, Fünftel verbuddeln)
Der Fünfte wacht auf... usw. (Teilt durch fünf, Rest 1 -> Äffchen, Fünftel verbuddeln)
Am nächsten Morgen wird der Haufen, der noch da ist, auf die 5 Leute verteilt, KEINE Nuss bleibt übrig.
Frage: wie viele Nüsse haben die gesammelt?
[.....]
Und hier meine Überlegungen, die alle nicht zum Ziel geführt haben.
Die Antwort lautet : 3121 = 5^5-4 (Und am offiziellen Verteiltag kriegt jeder 204 Kokosnüsse).
Die Antwort habe ich mit brutaler Gewalt (Excel) herausgefunden und es ist sofort erkennbar, daß die Zahl das Ergebnis der daneben stehenden Rechnung ist.
Doch WIE kommt man OHNE Probieren, sondern mit rechnen auf dieses Ergebnis?
Ich habe es bereits mit einer Reihe versucht [5 * Endanteil * (5/4)^5 + (5/4)^4 + .... + (5/4)^0 = Anfangsmenge], und mit Endziffern [das jeweilige Zwischenergebnis muß auf 6 oder 1 enden und die Zahl der Kokosnüsse, die nach dem Zugriff des Fünften übrig ist, also die Zahl, die offiziell verteilt wird, muß auf Null enden]. Zudem muß jedes Zwischenergebnis durch 4 teilbar sein...
Dann habe ich es mit Fließkomma versucht:
15,2587890625 * x + 8,20703125 = eine ganze Zahl.
Dafür MUß x eine zwei bis dreistellige Zahl sein, wobei gilt: 15,2587890625 * x = ?,79296875
UND das Ergebnis IST übrigens eine Primzahl (Zufall oder Notwendigkeit?).
Tja - offensichtlich alles Holzwege. Und der richtige Weg? |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 670
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 07:35: |
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Hi!
Ich bin auf folgendes gekommen:
Wenn x der Rest ist, den die Piraten nach der nächtlichen Aktion "fair" verteilen, dann muss folgendes gelten:
1) x ist durch 5 teilbar und
2) (3125x + 8404) / 1024 ist eine ganze Zahl.
2) lässt sich (nach Division mit Rest) so vereinfachen:
(53x + 212) ist ein Vielfaches von 1024
oder auch
53(x+4) ist ein Vielfaches von 1024
Da 53 und 1024 teilerfremd sind (53 eine Primzahl und 1024 eine Zweierpotenz), muss x+4 = 1024 gelten (für die kleinste Lösung)
Also ist x=1020 der Rest, der am Ende augeteilt wird. Diese Zahl hier einsetzen:
(3125x + 8404) / 1024
und heraus kommt deine Lösung!
Als Lösung für x kommen alle Zahlen der folgenden Form in Frage:
x = (5n+1)*1024 - 4
MfG
Martin
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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Z. (azr)
Neues Mitglied
Benutzername: azr
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 21:08: |
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Hi!
Hi!
> 1) x ist durch 5 teilbar und
> 2) (3125x + 8404) / 1024 ist eine ganze Zahl.
In der Nacht habe ich nochmal daran gesessen und bin auch auf diese Formel gekommen.
2) lässt sich (nach Division mit Rest) so vereinfachen:
(53x + 212) ist ein Vielfaches von 1024
Und genau dieser Schritt ist mir NICHT gelungen. Ab hier ist die Aufgabe eigentlich geschenkt...
Ich setze mich mal gleich hin, und knobele noch eine Runde darüber - aber vielleicht kannst Du mir bitte prophilaktisch diesen Schritt noch kurz aufdröseln?
MfG,
Z. |
Z. (azr)
Neues Mitglied
Benutzername: azr
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 01:02: |
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Hi!
Ich hab's raus! Danke!
Z. |
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