| Autor |
Beitrag |
    
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Juni, 2002 - 07:59: | 
|
"Du, Vater", sagt Kajetan zum Einöd-Bauern am Mittagstisch, "du weisst doch die einsame alte Eiche in unserem rechteckigen Rübenacker? Hab heute ausgemessen, dass sie von den südlichen Eckpunkten des Ackers 87 m und 24 m entfernt ist!"
"Ich weiss", antwortet der Altbauer und schlürft genüsslich seine Suppe, "und vom nordöstlichen Eckpunkt ist sie genau 100 m weit weg." - "Aber Vater, dann ist der Acker ja über ein Hektar groß!"
"Ja, Bub, sogar über 120 Ar." - "Na, jetzt übertreibst du aber!", erwidert Kajetan ungläubig.
Was haltet ihr von Kajetans Flächenschätzungen?
|
kajetan
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Juni, 2002 - 17:51: |
|
kajetan hat entweder heimlich noch was gemeßen oder im grundbuch nachgeschaut, nur mit den werten ist nicht lösbar!!!
|
murray (murray)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 86
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Juni, 2002 - 21:21: |
|
Hallo Sol@ti,
ich hab jetzt mal keine Lust ein Bild zu malen, aber ich Stelle mir das so vor:
Es gibt 5 Punkte, vier Eckpunkte ABCD um den Acker und E(-iche). Gebildet wird ein Dreieck (a = CE, b = ED, c = CD) mit a = 87 und b = 24, des weiteren ein Dreieck (a = DE, b = EB, c = BD) mit a = 24 und b = 100 - soweit die Voraussetzungen.
Die Strecken CE, DE und BE bilden die Winkelhalbierenden des Dreiecks (BD, CD, CB), womit jetzt der Inkreisradius r gesucht wird, welcher gleichzeitig die Höhe auf beiden kleinen Dreiecken ist. Mit r kann man dann sehr schnell auf CD und DB schließen.
Weil das jetzt aber viel zu leicht war, glaube ich mich geirrt zu haben.
Jep, ist verkehrt, also nochmal nachdenken. Das Du aber auch immer so schwere Sachen fragen mußt ;-)
Murray
(Beitrag nachträglich am 19., Juni. 2002 von murray editiert) |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 07:48: |
|
Hallo,
nun haben wir schon zwei Ansätze. Beiden gemeinsam ist die Erkenntnis, dass Information fehlt. Kajetan folgert daraus, dass das Rätsel unlösbar ist (stimmt, wenn man versucht die Fläche aus den Angaben exakt zu berechnen). Murray sucht nach implizit versteckter Information (ein guter Plan). Außerdem ist der Schwierigkeitsgrad jetzt eingegrenzt: liegt irgendwo zwischen "viel zu leicht" und "nicht lösbar" - ist doch schon was ;-)
Nur weiter so! Denn Konfuzius sagt: Auch der längste Weg beginnt mit einem ersten Schritt.
sol@ti
|
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1122
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 08:55: |
|
Hallo Sol@ti, ich stelle nach meinem Urlaub fest, dass du immer noch schöne Aufgaben stellst. Denkst du dir so etwas selbst aus? |
murray (murray)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 87
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 10:44: |
|
Hallo Ihrs,
ich habe da ein paar Überlegungen beizusteuern.
kajetan: Du hast recht wenn Du meinst es ist unlösbar, aber es geht auch nur um eine Schätzung - also die Frage: "KANN der Acker 120 Ar sein?".
Das heißt, ich hab mir überlegt das es reichen muß die minimale und maximale Fläche zu bestimmen.
Die miniale Fläche:
dazu stellen wir die Eiche einfach auf den Rand des Ackers
1. CED bilden eine Linie
- dann ist A = (CE+ED)*(Wurzel(ED²+BE²)) = (87+24)*(Wurzel(24²+100²)) = 11415.20
2. DEB bilden eine Linie
- dann ist A = (DE+EB)*(Wurzel(DE²+EC²)) = (24+100)*(Wurzel(24²+87²)) = 11190.95
Die kleinste mögliche Fläche ist also ca. 112 Ar und daher lohnt es sich auch weiterzurechnen
Die maximale Fläche:
- hier bin ich noch nicht weiter, aber eins ist klar (und oft bewiesen) die Fläche ist dann maximal wenn CD = DB ist
Soweit von mir, wer mag kann weiterrechnen
Murray
PS: Ich rechne bei Gelegenheit noch weiter, wenn sich keiner traut, aber nicht mehr heute.
|
fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 113
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 12:19: |
|
Hi Leute,
Annahme: C und D sind die südlichen Ecken.
B ist die nordöstliche. Die Eiche steht auf der Linie CD. E hat eine Entfernung von D von 87 m.
A liegt näher an E als B. Damit ist die Fläche:
(CE+ED)*wurzel(EB²-ED²) = 111*wurzel(100²-87²)
Das ist ca 5472,87.
Und damit die Minimale Fläche.
Irre ich mich?
Fireangel |
murray (murray)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 90
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 12:37: |
|
@fireangel: noe, du irrst dich nicht, ich hatte mal wieder einen Knick in der Optik
Murray |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 16:36: |
|
Hallo zusammen!
In diesem kritischen Bearbeitungsstadium werde ich zum Rätsel inhaltlich weder pipp noch papp sagen (vielleicht kann ich so die Lösung noch etwas hinauszögern).
Aber die Frage des sonnengebräunten Zaph kann ich unbeschwert beantworten:
> Denkst du dir so etwas selbst aus?
Ich versuche es zumindest nach besten Kräften, das ist mein Hobby. Alle Rätsel, die ich hier stelle, müssen mir selbst Spass machen. Manchmal gelingt mir ein Glückstreffer (schau dir mal Fireangels Beiträge zu den PS-Zahlen an! Mein Geschwätz kannst du dabei ruhig überlesen). Meist sind es aber möglichst nicht-triviale Variationen von "Klassikern", wie z.B. diese Aufgabe (Punkt im Rechteck, 3 Abstände zu Eckpunkten bekannt ==> Abstand zum 4. Eckpunkt berechenbar, aber die Fläche?) - aufpolierter Klassiker oder Alter Hut, wie man's sieht. Oder weniger bekannte Ergebnisse in ungewohnter Verpackung (Integer-Island ist übrigens vom schrulligen Altmeister Girard Desargues [1591-1661] inspiriert. Er verfasste ein tiefgehendes Werk über Kegelschnitte, sprach aber fortwährend von Blüten, Stämmen, Zweigen und anderen botanischen Ausdrücken!)
sol@ti
|
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 19:22: |
|
Hallo Fireangel,
wieso ist das die minimale Fläche?
Liegt E z. B. außerhalb des Rechteckes, so ist dann sowohl DC als auch CB zwangsläufig kleiner. Oder stehe ich auf dem Schlauch?
Mit freundlichen Grüssen
M. |
fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 114
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 19:31: |
|
Sorry M.
du stehst auf dem Schlauch. Es geht um eine Eiche AUF einem Acker, nicht daneben.
Was nicht heisst, das meine Aussage unbedingt stimmt, aber ich kenn keine kleinere Fläche, so dass alle Bedingungen erfüllt sind
Fireangel |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 19:54: |
|
Hallo Fireangel,
tut mir leid. Ich hab das anscheinend zu flüchtig gelesen:
...weisst doch die einsame alte Eiche in unserem rechteckigen Rübenacker...
Hab das in irgendwie überlesen. Sorry!
Und Danke!
Mit freundlichen Grüssen
M.
PS: Ich mach mir dann mal Gedanken dazu! |
fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 115
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 20:29: |
|
Hi,
kajetan muss ja aus irgendeinem Grund gewusst haben, dass der Acker mehr als einen Hektar gross ist.
Falls die Nordostecke (B) eine Feldgrenze mit derjenigen Ecke (C), die von der Eiche einen Abstand von 24 m hat, dann sind die beiden Grenzwerte:
einmal E auf der Linie BC: 124*83,6 = 10369
und dann E auf der Linie CD: 97*111= 10775
Beide Werte liegen über einem Hektar, also wenn dies gewährleistet ist, dann können wir das Rätsel lösen.
Im anderen Fall (B ist die Ecke mit 87 m Abstand), kann man nicht sagen, dass der Acker mehr als 1 ha groß ist. (siehe oben)
Gehen wir also vom ersteren Fall aus.
Ich kann inzwischen die Abschätzung von katejan bestätigen, die Grösse ist maximal um die 118 Ar.
Dies ist übrigens, sorry, Murray, nicht der Fall, wenn BC=CD ist, das liegt daran, dass die eine Seite nicht im selben Masse kürzer wird, in dem man die andere verlängert (oder umgekehrt).
Beweis für das Maximum < 120 Ar steht noch aus.
Fireangel |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 20:39: |
|
Also, wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist die maximale Fläche auf jeden Fall <=8769m².
Denn:
Man zeichne ein Rechteck:
NordWest => A
NO => B
SW => C
SO => D
E in das Innere.
Man zeichne das Lot von E auf CB. Der Schnittpunkt sei S.
Dann ist CS<=24 (vergleiche Dreiecksungl. Mit Lot von E auf DC).
Weiter ist ES=Wurzel(87²-CS²). Also ist
Wurzel(87²-24²)=83,6<=ES<=87
Also ES>=83,6.
Damit ist (CB-24)²<=100²-83,6²
=>
CB<=55+24=79
Nach der Dreiecksungleichung ist DC<=111
Also ist der Flächeninhalt <=111*79=8769.
So, nun muß ich mir das (weil geometrisch) selbst noch 5 mal anschauen, ihr könnt aber gerne auch prüfen, ob es stimmt!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 20:44: |
|
Sorry, nochmal zur Skizze:
NordWest => A
NO => B
SW => D
SO => C
Mit freundlichen Grüssen
M.
|
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 20:52: |
|
Komisch, demnach hab ich bestimmt einen Denkfehler:
...Aber Vater, dann ist der Acker ja über ein Hektar groß...
? |
fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 116
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 21:04: |
|
Hi M.,
deine Rechnung ist sehr schön, gilt allerdings für den Fall, den ich in meinem letzten Beitrag ausgeschlossen hab.
Für den anderen, hier zu betrachteten Fall sind die beiden Werte, die du berechnet hast, entsprechend:
124 und 111. Das Produkt: 13764.
Das ist also nicht aussagekräftig für unser Problem.
Allerdings beweist deine Rechnung, dass der zweite von mir genannte Fall Tatsache sein MUSS, da im ersten Fall nie 1ha erreicht wird.
Fireangel |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 21:09: |
|
Hallo Fireangel,
Sorry, ich hatte deinen Beitrag gar nicht mitbekommen gehabt.
Hast Recht:
Ich hab den Fall ED=24 und EC=87 benützt, aber gar nicht mehr dran gedacht, dass auch EC=24 und ED=87 gelten kann (bzw. dass das ein komplett anderer Fall ist).
Müßte man aber ähnlich abschätzen können.
Aber ich mach jetzt erst mal:
P A U S E
Bis später vielleicht!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 23:57: |
|
Na, hattest wohl auch keine Lust mehr. Bin gespannt auf die Lösung!
PS: Kleiner Fehler von mir:
>Dann ist CS<=24 (vergleiche Dreiecksungl. Mit Lot von E auf DC).
Müßte korrekt heißen:
>Dann ist CS<=24 (Nach Pythagoras in dem Dreieck DET, wobei T das Lot von E auf DC sei (denn DE=24 und DE²=DT²+TE² => TE<=24 und TE=CS => CS<=24).
Mit freundlichen Grüssen
M.
|
murray (murray)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 93
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 11:48: |
|
Hi,
@fireangel: Also doch schwieriger als ich dachte
Hauptsache du beschreibst nachher den Lösungsweg (vielleicht würde eine Skizze als Bild auch helfen)
Murray
PS: Wie bindet man eigentlich Bilder ein?
(Beitrag nachträglich am 21., Juni. 2002 von murray editiert) |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 09:03: |
|
Guten Morgen, allerseits!
Ich hab jetzt nach Fireangels Ausführungen einen (nicht ganz maßstäblichen) Plan gezeichnet. Vielleicht kann man für einheitliche Punktbezeichnungen darauf Bezug nehmen. Außerdem sieht man Kajetan beim Ausmessen der Entfernungen ;-)
sol@ti
@Murray: Im board-formatting ist genau beschrieben wie man mathematische Sonderzeichen und Bilder einfügen kann.
|
Kirk (kirk)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 97
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 13:29: |
|
Hallo,
ich habe den Innenwinkel des Dreiecks DCE bei D als variabel betrachtet, die anderen Größen und letztendlich die Fläche dann in Abhängigkeit von diesem Winkel geschrieben.
Ergibt eine Funktion mit 2 Wurzeln, 3x Sinus und 1x Cosinus. Suche nach Extremum per Hand habe ich nicht versucht, erscheint aber auf den ersten Blick aussichtslos. CAS liefert eine maximale Fläche von 118,28 Ar - den Wert, den auch Fireangel genannt hat.
Ist das eine Lösung in deinem Sinne, sol@ti, oder geht es eleganter?
Grüße,
Kirk
|
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 16:52: |
|
Ja, lieber Kirk, das ist die Gretchenfrage! Glücklicherweise gibt es ein ebenso einfaches wie praktisches Kriterium:
Wenn bei einem CAS nur ganzzahlige Anfangsparamter verwendet werden (hier: 87,24,100) und das Endergebnis (hier: die Flächenabschätzung) ebenfalls nur ganze Zahlen enthält, dann sehe ich das Ergebnis als mathematisch bewiesen an. Denn in diesem Fall könnte man (theoretisch) an Stelle der Zahlenwerte formale Parameter p,q,r verwenden, auch wenn praktisch das CAS an der Komplexiät der Formeln ersticken würde. (Natürlich gilt das auch für symbolische Konstanten statt ganzer Zahlen, etwa p oder e).
Wenn aber Kommastellen angegeben werden, hat das CAS im Lauf der Rechnung auf numerische Approximation umgeschaltet; das entspricht dann nur mehr dem Durchprobieren von endlich vielen Zahlen. Natürlich "stimmt" das Ergebnis, aber es ist kein strenger mathematischer Beweis.
Die Frage ist also: Ist deine CAS-Abschätzung ganzzahlig-symbolisch, z.B. 3341*p*Öarcsin(7862/8199), oder wird tatsächlich 118.28 angegeben?
Vergleiche dazu auch Fireangels strenge Maßstäbe, der im selben Beitrag schreibt:
> Ich kann inzwischen die Abschätzung von katejan bestätigen, die Grösse ist maximal um die 118 Ar.
> Beweis für das Maximum < 120 Ar steht noch aus.
sol@ti
|
Kirk (kirk)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 100
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 23:43: |
|
Hallo sol@ti,
ich habe nur den Dezimalwert des Maximums, keine schöne geschlossene Darstellung. Vielleicht könnte man mal Maple oder so was darauf ansetzen.
Grüße,
Kirk |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 09:58: |
|
Hallo Kirk!
Mit CAS hatte ich schon alle Algebra-Systeme gemeint, egal ob Maple, Derive, Mathematica, TI-92 oder irgend ein anderes. Wenn ich dich recht verstehe hast du eine Flächenformel A(x) für das Rechteck, wobei der freie Parameter x bei dir eben der Innenwinkel bei D ist. Und nun willst du die maximale Fläche exakt berechnen, indem du die Ableitung Null setzt, A'(x)=0. Diese Gleichung ist nicht formal lösbar!
Aber man kann eine Flächenformel A(x) und (mit elementaren Abschätzungen) eine von x unabhängige Konstante c<12000(m²) finden, so dass für alle zulässigen x gilt: A(x)<c , und das reicht doch! Also: Das Flächenmaximum nur abschätzen, nicht berechnen! Ein solches c hat die Koproduktion M.&Fireangel ja bereits ergeben: c=124*111=13764. Jetzt muss dieses c nur noch unter 12000 gedrückt werden.
Und wenn ich das geschafft habe, könnt ihr das schon lange!
sol@ti
|
Kirk (kirk)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 106
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 10:18: |
|
Hallo sol@ti,
ja, du hast mich genau richtig verstanden. (Ich hatte mit CAS etwas übertrieben. War nur tplot, und das leitet nicht formal ab.)
Ich habe auch erst Abschätzungen probiert, kam aber nicht auf 12000 runter. Nachdem ich das mögliche Maximum von 11828 Ar ermittelt hatte, habe ich die Abschätzungsidee beiseite gelegt, da ich es für schwierig hielt, so scharfe Abschätzungen zu finden, dass man dabei nicht über 12000 gerät.
Grüße,
Kirk
|
Raphael
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 16:29: |
|
Hallo Sol@ti!
Ich habs mal mit den Winkeln versucht!
Sei a der Winkel ECD
b der Winkel EDC
c der Winkel EBC
x=24m
y=87m
z=100m
x*sin(a)=y*sin(b)
x*cos(a)=z*sin(c)
dann ist
f =(y*cos(b)+z*sin(c))*(y*sin(b)+z*cos(c))
=y^2*sin(b)cos(b)+z^2*sin(c)cos(c) +yz*cos(c-b)
=xsin(a)*ycos(b)+xcos(a)*zcos(c)+yzcos(c-b)
< xy*sin(a)+xz*cos(a)+yz
< xy*(sin(a)+cos(a)) + x(z-y)cos(a) + yz
< Wurzel(2)*x*y +xz - xy + yz
< (Wurzel(2)-1)*x*y +z(x+y)<12000=
(Hoffentlich hab ich mich nicht verrechnet!) |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juni, 2002 - 17:41: |
|
Hervorragend, Raphael, ganz ausgezeichnet!
Das ist wahrlich ein Musterbeipiel für eine ebenso elegante wie scharfe Abschätzung (aufgerundet 11965 m²). Der Clou war neben der Verwendung des Sinussatzes in den Dreiecken DCE und BCE natürlich der Analysis-Trick: xy*cos(a) dazuzählen und wieder wegnehmen (eine Zeile bevor zum ersten Mal Wurzel(2) auftritt; dort sollte = statt < stehen).
Echt toll. Erst der rekursive Code, jetzt diese Abschätzung - Raphael, du wirst mir langsam unheimlich!
Ein großes Dankeschön aber auch an alle anderen aktiven Miträtsler, die ja die minimale Fläche mit 10369 m² abgeschätzt und viele gute Ansätze eingebracht haben!
sol@ti
|
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1431
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. Juni, 2003 - 11:48: |
|
Leere Nachricht. |
Raphael M. (raphaeldÄ)
Neues Mitglied
Benutzername: raphaeldÄ
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Juni, 2003 - 10:29: |
|
|
Raphael M. (raphaeldÄ)
Neues Mitglied
Benutzername: raphaeldÄ
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Juni, 2003 - 10:37: |
|
Wie ihr seht hat mir das keine Ruhe gelassen, was haltet ihr von obiger Lösung? |
Raphael M. (raphaeldÄ)
Neues Mitglied
Benutzername: raphaeldÄ
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 19:48: |
|
Hier noch eine Ergänzung zur Notwendigkeit der Lösung |
Raphael M. (raphaeldÄ)
Neues Mitglied
Benutzername: raphaeldÄ
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juli, 2003 - 17:16: |
|
Ver esserung
Nach ausmerzen von 2 Fehlern, die sich aber nicht auf die Lösung ausgewirkt haben, hier die (ich hoffe)letztendliche Lösung. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1434
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juli, 2003 - 19:33: |
|
Absolut klasse, Raphael!! |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1563
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. März, 2004 - 23:23: |
|
Liebe Community,
heute habe ich endlich die Januarausgabe vom American Mathematical Monthly in die Hände bekommen. Das AMM ist eine renommierte mathematische Fachzeitschrift für anspruchsvolle Hobbymathematiker und mehr. Neben diversen Artikeln gibt es dort eine Rubrik, wo Leser anderen Lesern Aufgaben stellen. Beachtet bitte Aufgabe 11057. THX @ Raphael aus Oberammergau!
 |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1564
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. März, 2004 - 23:42: |
|
... bitte entschuldigt die miese Qualität, aber mehr als 100 kB kann hier leider nicht eingestellt werden. Hier noch mal nur Aufgabe 11057:
 |
|
Worddokument
Ergänzung
