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wieviel PS ?

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Denksport » Zahlenrätsel » wieviel PS ? « Zurück Vor »

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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 09:01:   Beitrag drucken

Susi zappte gerade wieder einmal durch alle Sender, immer nur Darkwing Duck war langweilig. Da stolperte sie in einen Bildungssender: "... und 3612 ist eine PS-Zahl, aus der Menge der selbstbezüglichen Zahlen. Denn ihr Ziffernprodukt P ist 3*6*1*2=36 und ihre Ziffernsumme S ist 3+6+1+2=12, also 3612=PS hintereinandergeschrieben ...", murmelte der Mann mit grimmiger Miene. - Ihr Atem stockte! PS-Zahl? - "Mami, Mami!", rief klein Susi aufgeregt und zupfte am Rocksaum der Mutter, "ich will auch PS-Zahlen haben! Wieviele PS-Zahlen gibt's denn überhaupt? Gibt's unendlich viele PS-Zahlen? Ist 3612 die größte PS-Zahl? Oder ist's die kleinste? Ist bei PS-Zahlen P immer durch -hmm- teilbar? ..."

Fragen über Fragen, wie Kinder eben sind. Doch Mami wusste keinen Rat. Eine genaue Charakterisierung dieser seltsamen Zahlen wäre dringend erforderlich!
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juni, 2002 - 17:28:   Beitrag drucken

Wer wagt es, Rittersmann oder Knapp ... ?

Ist ne harte Nuss, ich weiss. Vielleicht nützt ein kurzer Quickie zur Aufmunterung.
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Kirk (kirk)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kirk

Nummer des Beitrags: 84
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juni, 2002 - 18:16:   Beitrag drucken

Eine elegante Lösung dafür wäre schon interessant. Ich bin nicht sehr weit gekommen. Habe mal den Fall einer 4stelligen Zahl abcd wie im Beispiel betrachtet.

Bedingung: a*b*c*d*100 + a+b+c+d = 1000a+100b+10c+d
(Ich nahm erstmal an, dass die Summe zweistellig ist.)

Bisschen sortieren und so und dann steht eine Gleichung mit 4 Unbekannten da. Ein paar Teilbarkeitsbedingungen kann man formulieren, aber eine richtig schöne Charakterisierung gibt das nicht. Von einer Verallgemeinerung auf die Fälle, die ich noch ausgeschlossen habe, gar nicht zu reden.

Schätze mal, dass man da einiges an zahlentheoretischem Know-How braucht. Und das hab ich leider nicht ...

Grüße,
Kirk
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 14:34:   Beitrag drucken

Hallo Kirk!

Zunächst möchte ich mich recht herzlich dafür bedanken, dass du für diese Aufgabe Zeit geopfert hast. Ja, eine elegante vollständige Charakterisierung der PS-Zahlen wäre interessant. Aber dafür bräuchten wir wohl den großen Zampano persönlich! Zwei hausbackene Resultate kann ich aber gern angeben:

1) Für jedes n, 0 <= n <= 109, gilt: Zwischen 1000*n und 1000*(n+1) liegt höchstens eine PS-Zahl. Dieser einzige PS-Kandidat kann für jedes konkrete n einfach algorithmisch konstruiert werden. So findet man für n=0,1,...,15 schnell eine Hand voll PS-Zahlen, praktisch per Kopfrechnung. Insbesondere ist 3612 weder die kleinste, noch die größte PS-Zahl.

2) Es gibt nur endlich viele PS-Zahlen.
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fireangel (fireangel)
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Moderator
Benutzername: fireangel

Nummer des Beitrags: 87
Registriert: 10-2000
Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 15:46:   Beitrag drucken

Hi sol@ti,

Da die Summe wie auch das Produkt einer oder mehrerer Zahlen mindestens jeweils einstellig ist, kommt keine einstellige Zahl als PS-Zahl in Frage.
Für zweistellige Zahlen 'ab' müsste gelten:
a+b=b, was nur für a=0 der Fall wäre, so dass es auch keine zweistellige PS-Zahl gibt.
Für dreistellige Zahlen 'abc' würde gelten:
a+b+c=c oder a*b*c=a. Davon ist der erste Fall wieder unmöglich, im zweiten Fall müssten b und c 1 sein, damit wäre die Summe aus 1 und 1 und a gleich 11. Damit ist also 911 eine PS Zahl. Die einzige dreistellige.
Für Vierstellige Zahlen ist 3612 auch die einzige PS Zahl:
es muss gelten: a*b*c*d=a => geht nicht wegen Summe ungleich 111.
ODER
a+b+c+d = d => geht nicht wegen a,b,c ungleich 0
ODER
a+b+c+d = 10c + d
a*b*c*d = 10a + b

umformen:
a+b = 9c
a*b*c*d = 9a + 9c

also muss die Summe aus a+b durch 9 teilbar sein:
geht bei 1,8 : 2,7 : 3,6 : 4,5 und 9,9
9,9 fällt raus wegen Produkt abcd mehr als 2 Stellen.
Für alle anderen Ergebnisse ist c=1. somit ergeben sich als a*b*c:
8,14,18,20
Als 9(a+1) finden sich zu jedem zwei Möglichkeiten:
18/81 , 27/72 , 36/63 , 45/54
Davon ist nur 36 durch 18 glatt teilbar, alle anderen Zahlen ergeben Quatsch.
Somit ist 3612 die einzige Vierstellige PS Zahl.

Allgemein kann ich schon sagen, dass die Summe immer mindestens zwei Stellen haben muss, das Produkt ebenfalls (Ausnahme: 911).
Ich überlege weiter...

Fireangel
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 16:10:   Beitrag drucken

Hi Fireangle, super, dass du auch mitmachst!

< 911, 3612, ... > Fortsetzung folgt?
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fireangel (fireangel)
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Moderator
Benutzername: fireangel

Nummer des Beitrags: 88
Registriert: 10-2000
Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 17:06:   Beitrag drucken

Hi,
Fortsetzung folgt.
Nach dem gleichen Prinzip bei den 5Stellern durchgegangen:
Es gibt die Variante:
10a+b=abcde und 100c+10d+e=a+b+c+d+e
ergibt:
11c+d = a+b/9
Wenn a+b durch 9 teilbar sein soll, kanns nur 1 oder 2 sein, niemals 11c+d mit ganzen Zahlen => unmöglich.

Bleibt die Variante:
100a+10b+c = abcde
10d+e=a+b+c+d+e

folgt:
9d=a+b+c
9(11a+b+d) = abcde

bildet man wieder Tripel a,b,c, deren Summe durch 9 teilbar ist, berechnet d dazu und bestimmt die Terme 9(11a+b+d) sowie abcd, dann ergibt sich e nur bei zwei Varianten als einzelne Ziffer:

Die beiden einzigen 5stelligen PS Zahlen sind:
13519
14419

Es ist allgemein zu sagen: P muss immer durch 9 teilbar sein. Das Produkt hat immer gleichviel oder mehr Stellen als die Summe.

bis zu 11 Stellen:
Es steht fest: die Summe kann höchsten 99 sein, ist also immer ein- oder zweistellig. EInstellig ist schon ausgeschlossen, also zweistellig.
Dafür gilt immer(ich dreh jetzt mal die Zahl, also aus abcd wird dcba):
Summe = 10b + a
oder:
summe - (a+b) = 9b

Es ergibt also immer (die Summe aller Ziffern des Produktes)/(9) b.
Gleichzeitig gilt:
Produkt = c + 10d +100e +1000f ...
Produkt = Quersumme(Produkt)+ 9(d + 11e +111f...)
Produkt = 9 (b + d +11e +111f ...)

Ich denke weiter...

Fireangel
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 17:16:   Beitrag drucken

pssst ... he Kirk, ich glaub wir haben Zampano an der Strippe!

< 911, 3612, 13519, 14419, ??? >

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fireangel (fireangel)
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Moderator
Benutzername: fireangel

Nummer des Beitrags: 89
Registriert: 10-2000
Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 17:59:   Beitrag drucken

danke, danke, aber so weit ist es dann doch nicht her mit meinem Können...

Also:
6Steller gibt es nur 129626, wenn ich mich nicht sehr irre.
Hier haben wir die vorletzte Stelle schon mit 2 besetzt, die Quersumme des Produktes ist also 2*9.

Fortsetzung: vielleicht?

Fireangel
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JoeCool
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 18:11:   Beitrag drucken

@ sol@ti:
Nebenfrage:
Weshalb gibt es nur endlich viele PS-Zahlen?

JoeCool
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 07:24:   Beitrag drucken

@JoeCool: Das ist der zweite Teil der Aufgabe, s.u. b)

@Fireangel: Du hast uns den Weg gezeigt und ich verfolge mit Freude deine brilliante Kombinationsgabe. Aus deinem letzten Beitrag lese ich heraus, dass du mit den 6stelligen PS-Zahlen endgültig in die algorithmisch-handwerkliche Phase eingetreten bist. Da lässt die Spannung natürlich nach. Ich schlage daher vor, wir betrachten diesen Teil der Aufgabe als gelöst und ich gebe nur der Vollständigkeit halber alle PS-Zahlen mit zweistelliger Ziffernsumme bekannt (bitte um kurzes ja/nein ob das in deinem Sinne ist, oder ob du sie eh schon alle kennst). Denn wenn du noch Zeit und Lust hast wären da zwei Teilaufgaben mit inhaltlichem Neuigkeitswert:

a) Gibt es eine PS-Zahl mit dreistelliger Ziffernsumme ?
b) Zeige, dass die Ziffernsumme aller PS-Zahlen höchstens dreistellig sein kann!

Natürlich sind auch alle anderen interessierten Mitleser(innen) herzlich eingeladen diese Rätsel zu lösen! Ich bin sicher, Fireangel ist damit einverstanden, primus inter pares zu sein.
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fireangel (fireangel)
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Benutzername: fireangel

Nummer des Beitrags: 90
Registriert: 10-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 13:31:   Beitrag drucken

Hauptsächlich bin ich hier, ,um anderen zu helfen. Natürlich hab ich auch ne Menge Spass an solchen Aufgaben (nebenbei: besonders an gut verpackten, gegeteh!!, super.)
Ich hab die Aufgabe bis jetzt verfolgt, weil mir niemand einen geeigneten Ansatz zu haben schien. Ich bearbeite solche Aufgaben meist nur soweit es mein Kopf und mein Taschenrechner alleine schaffen.
Ich hab mir zwar noch weitere Gedanken gemacht, aber bis zu einer sieben- (oder noch mehr-) stelligen konkreten Lösung hat meine Kapazität an Papier und Geduld nicht gereicht.
Fest steht, dass es nur endlich viele Lösungen mit einer zweistelligen Ziffernsumme gibt. Ausser den fünf, die ich bereits angegeben habe, dürften es auch nicht mehr allzu viele sein.
Ich vermute, dass es auch Exemplare mit dreistelliger Summe gibt, allerdings werde ich hier, wie auch bei Teil b) einen Beweis schuldig bleiben.
Allerdings bin ich an der Lösung schon interessiert, also möchte ich meine Mitstreiter hier (Carmichael? Kirk? Martin? Zaph?) bitten, hierzu mal wenigstens Gedanken beizutragen.

Fireangel

PS: sol@ti, wer bist du, was machst du (ausser anspruchsvollen Zahlenrätseln), warum bist du hier noch nicht angemeldet?
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 16:34:   Beitrag drucken

Hallo Fireangel!

Mir ist schon klar, dass du hier bist, um anderen zu helfen. Umso mehr weiss ich deine aktive Mitarbeit bei diesem Rätsel wirklich zu schätzen. Und das mit dem Ende der Geduld verstehe ich gut. Ich habe auf sehr ähnliche (wenn auch nicht so effiziente) Weise die ersten vier PS-Zahlen gefunden, dann war die Geduld schon zu Ende und ich habe - Carmichael, schließ die Augen und hör weg! - den Computer für mich suchen lassen. Das hat zwar mit Mathematik nix zu tun, ist aber (zumindest als Rätselsteller) besser als gar keine Lösung.

Hier also das Ergebnis der vollständigen Suche bis 1012:

< 911, 3612, 13519, 14419, 129626, 3499236, 13996843 >

Die Korrektheit meines Programms vorausgesetzt, gibt es also keine 9- bis 12-stelligen PS-Zahlen. Übrigens, wenn ich zuletzt verkündet hatte, alle PS-Zahlen mit zweistelliger Ziffernsumme anzugeben, war das genau genommen natürlich nur eine Vermutung. Es gibt ja genügend Zahlen > 1012 mit zweistelliger Ziffernsumme!

Doch dann ist Schluß mit lustig. Für größere PS-Zahlen, so es sie gibt, braucht man meiner Meinung nach einen gänzlich neuen Ansatz. Für ein kombinatorisches Ausschlußverfahren wird die Anzahl der freien Parameter einfach zu groß. Und wenn einer der von dir genannten Mitstreiter oder wer auch immer eine größere PS-Zahl findet, muss ich mir jetzt schon eine ganz besondere Preisverleihung einfallen lassen.

Frage b) bezüglich der endlich vielen PS-Zahlen, ist recht simpel zu beantworten. Mein Beweis dafür ist wahrlich keine mathematische Großtat, den möchte ich nur im äußersten Notfall hier öffentlich kundtun. Es ist einfach eine (leider nicht-konstruktive) Abschätzung für die größtmögliche PS-Zahl. Da sollte sich wirklich jemand um einen schöneren Beweis kümmern!

Noch ganz kurz zu deinen Fragen:
Ich bin Musikant. Ich habe ein Mathestudium begonnen, bin aber im Laufe der Zeit völlig in die Informatik abgewandert. Nur der Spass an mathematischen Rätseln und Geschichten ist geblieben, ein reines Hobby. Darum möchte ich mich auch nicht am Tagesgeschäft dieses wirklich tollen Hausaufgaben-Forums beteiligen. Musikanten sind am liebsten ungebunden und frei!

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fireangel (fireangel)
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Moderator
Benutzername: fireangel

Nummer des Beitrags: 91
Registriert: 10-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 17:02:   Beitrag drucken

Hi sol@ti,

danke für die Antwort, kannst du mir die Abschätzung mailen? Und was du sonst noch über das Problem weisst? Ich will das jetzt mal genau wissen...

Danke
Fireangel
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Kirk (kirk)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: kirk

Nummer des Beitrags: 85
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 18:46:   Beitrag drucken

Hallo,

Fireangel, du hast das wesentlich geschickter angestellt als ich. Die Art von Problemen ist nicht so ganz meine Spezialität, weshalb ich auch nicht glaube, dazu was wirklich Konstruktives beitragen zu können. Aber ich lese so mit und das macht auch Spaß.
Sol@ti, die Abschätzung fände ich auch ganz interessant.
Könntest du nicht doch ... vielleicht ... wenn es keine Umstände macht ?

Grüße,
Kirk
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 19:19:   Beitrag drucken

Ich habe den ominösen Beweis an Fireangel zur gefälligen Begutachtung gesandt. Ist er fehlerhaft mag sein Feuerschwert auf mich herniedersausen, sobald er sich vom Lachen erholt hat. Ist der Beweis korrekt, so liegt es an Fireangel damit zu verfahren wie er es für richtig hält.
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MisterX
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 20:52:   Beitrag drucken

Nur so eine "rein philosophische" Frage an sol@ti/(Carmichael?):
Was ist denn daran schlimm, Zahlen mit dem Computer auszuwerten? Und eine Abschätzung ist ein Verfahren der Analysis. Wieso stellst du deine Abschätzung nicht einfach mal zum Nachschauen zur Verfügung?

Übrigens: Sehr interessante Beiträge bisher!

MisterX
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fireangel (fireangel)
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Moderator
Benutzername: fireangel

Nummer des Beitrags: 92
Registriert: 10-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 22:46:   Beitrag drucken

Hi,

also sol@ti, werd mich hüten, hier mein Feuerschwert zu zücken...
Da aber verstärkte Nachfrage besteht, stell ich jetzt sol@tis Abschätzung hier rein.

Zitat:

"Sei z eine n-stellige PS-Zahl.
Dann ist P < 9^n , S < 9n .
Damit: z < 9^n*10^(]log(9n)[)+9n ,
da S höchstens ]log(9n)[ Stellen hat.
z kann daher höchstens
max(n)=]log(9^n*10^(]log(9n)[)+9n)[
Stellen haben.
Für alle n>=88 ist max(n) < n , ein Widerspruch zur Annahme, dass z
n-stellig ist.
Also sind alle PS-Zahlen kleiner als 10^87 ."

Zitat Ende.

Dazu folgendes: Jede PS-Zahl ist kleiner als 10^88. Das war sicher auch gemeint.
Weiterhin sieht man nun, das die Summe höchstens 88*9 = 792 und also dreistellig sein kann.
Die Frage ist: gibt es überhaupt noch PS-Zahlen jenseits von 10^8, was ich inzwischen bezweifel.
Aber wir werden sehen... hoff ich.

@MisterX:
Carmichael ist ein Mitglied bei Zahlreich, das gerne auf die Unterstützung von Computern verzichtet.

Bis hoffentlich bald,

Fireangel
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Juni, 2002 - 09:11:   Beitrag drucken

So, nun ist die Katze aus dem Sack. Macht's besser, schärfer, schöner!

P.S.: Ich hab übrigens schon 'kleiner als 10^87' gemeint, denn 10^87 selbst ist bereits 88-stellig ;-)
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 16:49:   Beitrag drucken

... breaking news ... 27997863796899 ...

ist zwar keine PS-Zahl, aber berechnet mal P und S dieser Zahl!
Dieser Zufallsfund spricht nicht gerade gegen die Existenz weiterer PS-Zahlen.

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Kirk (kirk)
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Benutzername: kirk

Nummer des Beitrags: 87
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 19:25:   Beitrag drucken

Hi, schön, dass ihr immer noch dran bleibt. Hmm, habe P und S ausgerechnet. Vorne stimmts, hinten stimmts, in der Mitte nicht. Aber was sagt mir das?

Grüße,
Kirk
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fireangel (fireangel)
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Benutzername: fireangel

Nummer des Beitrags: 96
Registriert: 10-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 21:40:   Beitrag drucken

Hab einen Teilerfolg zu vermelden, weiss aber nicht, ob er hieb und stichfest ist:
Gehen wir von einer zweistelligen Summe aus.
Dann kann die zweite Stelle höchstens 9 sein und also die Quersumme des Produktes höchstens 9*9=81.
Verteilen wir 81 Einsen in Summen, die miteinander multipliziert eine maximale Zahl ergeben sollen, so ergibt sich als Maximum: 3^27.
3^27 muss dann noch mit den beiden Summenziffern (maximal 9 und 9) multipliziert werden.
3^27*81 hat 15 Stellen, damit kann jede PS-Zahl mit einer zweistelligen Summe höchstens 17 Stellen haben.
Nun müssen wir die 81 Einsen auf nur mehr 15 Stellen verteilen, hier hat das Maximalprodukt höchstens 11 Stellen.
Das hat mit 81 multipliziert nur noch 13 Stellen. Verteilen wir die 81 Einsen auf 13 Stellen, ergibt sich ein Maximum mit höchstens 10 Stellen.
Das mit 81 multipliziert ergibt nur noch 12 Stellen. Verteilen wir 81 Einsen auf 12 Stellen ergibt das ein Maximum bei wiederum 10 Stellen.
Das ist mit 81 multipliziert auch noch 12 stellig. Eine PS-Zahl mit zweistelliger Summe kann also höchstens 14stellig sein.
Weiter: wenn wir nun als zweite Stelle nicht das Maximum von 9 annehmen, sondern 8, kann bei gleichem Prinzip die PSZahl nur noch 13stellig werden.
und so weiter: zweite Stelle:7 Zahl: 12 Stellen
zwSt:6 Z: 11
zwSt:5 Z: 10
zwSt:4 Z: 9
zwSt:3 Z: 8
zwSt:2 Z: 6
zwSt:1 Z: 5
Dies deckt sich mit unseren Beobachtungen, denn wir haben bei zwSt=1 höchstens 5stellige Zahlen, bei zwSt=2 höchsten 6stellige, usw.
Da nun sol@ti bis 10^12 alle Zahlen probiert hat, können wir sicher sein, dass es keine PS-Zahl mit bis zu 13 Stellen gibt, die wir noch nicht kennen.
Damit könnte es nur noch theoretische PS-Zahlen mit einer zwSt=9 und 14 Stellen geben.
Weiterhin kann die Summe einer PS-Zahl im Allgemeinen höchstens 789 sein. Was wenig bis gar nichts aussagt.
Ich probiere ähnliches auch noch für 3Stellige Summen.

Fireangel
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fireangel (fireangel)
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Nummer des Beitrags: 97
Registriert: 10-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 22:07:   Beitrag drucken

Hab mal bei 3 Stellen Summe angesetzt:
Wenn die Zahl höchstens 88 Stellen hat und die Summe 3, dann hat das Produkt höchstens 85 Stellen. Alle mit Neunen gefüllt, ergibt beim ausmultiplizieren eine Zahl von 9^85*7*8*9 (Maximale Summe, siehe letzter Beitrag). Diese Zahl hat 84 Stellen. Damit kann man nicht mehr 85 Neunen im Produkt unterbringen, sondern nur mehr 84. Rechnet man so eine Zeit lang weiter, kommt man auf maximale 71 Stellen Produkt, eine Maximalgrösse der Zahl von also 74 Stellen und einer Maximalsumme von 658.

Fireangel
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fireangel (fireangel)
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Benutzername: fireangel

Nummer des Beitrags: 98
Registriert: 10-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 22:37:   Beitrag drucken

Und überhaupt:
Die kleinste mögliche dreistellige Summe ist 111. Dabei wären 12*9 Bausteine im Produkt nötig. Die Art, diese Bausteine mit möglichst wenig Stellen unterzubringen, ist eben 12 Neunen. 9^12 ist nun aber SEHR WEIT davon entfernt, eine Zahl mit 12 Stellen 9 zu erreichen. Und das wird bei grösseren Summen nicht besser. Die Maximumsumme, die also am gravierendsten in das Produkt mit eingreift, 658, bewirkt gerade, das vielleicht ein Siebtel der entsprechende Zahl aus 71 Neunen von ihrem Ziffernprodukt erreicht wird...
ALSO GIBT ES LOGISCH BETRACHTET KEINE PSZAHLEN MIT 3STELLIGER SUMME!!!

Gegenbeispiel:
bei zweistelliger summme und zwST=4 wäre eine solche Anordnung mit minimaler Stellenzahl Produkt 9999 Summe 49, damit wäre das Ziffernprodukt 9^4*36 = 236196, das übertrifft 9999 um ein vielfaches, damit ist eine PS Zahl möglich.

Wenn dies nun alles stimmt, dann gibt es ausschliesslich die uns bekannten sieben PSZahlen, was ja einer vollständigen Klassifizierung entspräche :-)

Bitte um Widerlegung oder Zustimmung.

Fireangel
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fireangel (fireangel)
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Nummer des Beitrags: 99
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juni, 2002 - 08:57:   Beitrag drucken

Nehme meine letzte Äusserung über 3Stellen Summen zurück. Stimmt nicht.
Behaupte aber weiterhin, dass es nicht mehr als die sieben gefundenen PS-Zahlen gibt.

Fireangel
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fireangel (fireangel)
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juni, 2002 - 09:24:   Beitrag drucken

Allerdings benutzen wir das Prinzip zu weiteren Einschränkung:
Wenn wir wissen, dass eine Zahl mit x Neunen keine Chance hat durch ihr Ziffernprodukt UND die drei Summenfaktoren sich selbst zu erreichen, schliessen wir sie aus.
Das ist bei allen Produkten grösser 10^52 der Fall, also bei Produkten mit mehr als 53 Stellen, erst ein Produkt von 53 Neunen mal die Summenfaktoren 4 9 9 ergibt eine 54stellige Zahl.
Damit gibt es keine PS Zahlen grösser 10^55.

Es gibt auch weitere Produktstellenanzahlen, bei denen es nicht funktioniert, als da wären:
48, 47, 46, 45, 44, 43, 34, 33, 32, 22, 21.

Es geht also nur mit Produktenstellenanzahlen von 12 bis 53 mit den oben genannten Ausnahmen.

Hilft bloss nicht sehr viel, fürchte ich.

Fireangel
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sol@ti
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juni, 2002 - 16:06:   Beitrag drucken

Hi Fireangel!

Ich habe deine letzten Beiträge sehr genau durchgearbeitet, zusammenfassend fällt mir dazu Galileo Galilei ein: ... und sie bewegt sich doch!

a) Beitrag 06. Juni, 2002 - 22:40

Ich kann alle Argumente nachvollziehen. Die Idee mit der iterativen Stellenreduktion ist super!

Damit sehe ich es als bewiesen an, dass PS-Zahlen mit 2stelliger Ziffernsumme höchstens 14 Stellen haben können.

Auszuschließen ist die Existenz 13- und 14stelliger PS-Zahlen aber nicht: bei 27997863796899 (14stellig) passt die Größenordnung und die Ziffernsumme, nur 2 Ziffern in der Mitte weichen um +1/-1 ab; diese Zahl widersteht allen bisherigen Abschätzungen und ist in gewisser Weise "nah dran".

b) Beitrag 07. Juni, 2002 - 10:24

Dazu möchte ich erst meine neue Suchrichtung skizzieren:
Betrachte die Abbildung ps: N --> N, die jeder natürlichen Zahl n
ps(n) = P(n)*10s+S(n)
zuordnet (s=Stellenanzahl von S(n)). PS-Zahlen erfüllen dann gem. Definition die Bedingung ps(z)=z . Außerdem gilt für alle n>10^55 (deine Abschätzung!): ps(n)<n , also eine Art Kontraktionsbedingung. Wiederholte Hintereinanderausführung dieser "PS-Transformation" muss daher zur "Konvergenz" der Iterierten führen. Leider ist es aber keine reine Fixpunktiteration, sondern es treten auch Grenzzyklen auf:

Bsp1: 13 --> ps(13)=34 --> 127 --> 1410 --> 6 --> 66 --> 3612 (Fixpunkt)
Bsp2: 88 --> ps(88)=6416 --> 14417 --> 11217 --> 1412 --> 88 (Grenzzykel)

Ob diese "Fixpunktiteration" weiterhilft kann ich noch nicht beurteilen. Bei deiner Argumentation zur Herleitung der Abschätzung 10^55 verwendest du meiner Meinung nach im Prinzip auch diese ps-Trafo.
"Wenn wir wissen, dass eine Zahl mit x Neunen keine Chance hat durch ihr Ziffernprodukt UND die drei Summenfaktoren sich selbst zu erreichen, schliessen wir sie aus."
Eine Zahl n wird ausgeschlossen, wenn ps(n)<n. Auch deine Ausnahmen 21,22,32,...,48 kann ich bestätigen.

Vielen Dank für dein anhaltendes Interesse und deine super Beiträge!

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sol@ti
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Veröffentlicht am Samstag, den 08. Juni, 2002 - 11:07:   Beitrag drucken

@Fireangel: Ich habe deinen letzten Beitrag jetzt noch genauer durchgearbeitet und dabei folgendes entdeckt:
Im Beitrag 06. Juni, 2002 - 23:37, argumentierst du mit "9 Bausteinen", also Zifferngruppen, deren Summe 9 ergibt. Im letzten Beitrag sprichst du von "x Neunen". Dieser feine Unterschied macht's aber aus, ist mir jetzt erst aufgefallen. Es geht um die erwähnten Ausnahmen.

Ausnahme 21 bedeutet: Es kann keine PS-Zahl geben, bei der die Ziffernsumme des Produkts S(P) aus 21 "9 Bausteinen" besteht. Das ist korrekt und heißt, dass S(P) einer PS-Zahl ungleich 21*9 ist. Aber der Schluß, dass es keine PS-Zahl mit 24=21+3 Stellen geben kann, bzw. dass die Produktstellenanzahl nicht 21 sein kann, ist nicht zulässig!
Gegenbeispiel: z = 999999999999998888877199 hat 24 Stellen. Die Ziffernsumme der ersten 21 Stellen ("P-Kandidat") ist 180=20*9, S(z)=199. Damit sind zwei Bedingungen für eine PS-Zahl erfüllt (P-Kandidat durch 9 teilbar und S am Zahlenende angehängt). Es ist aber ps(z)>z. 24stellige PS-Zahlen sind daher (zumindest mit dem "9 Baustein"-Argument) nicht auszuschließen. Dasselbe gilt für die Ausnahme 22.

Noch eine Bemerkung zur Idee der ps-Transformation: Offenbar verändert eine beliebige Permutation p(n) der Ziffernfolge von n weder P noch S dieser Zahl. Wenn nun z eine PS-Zahl ist und p(z) eine Ziffernpermutation von z, so gilt: ps(p(z))=z . Dies bringt eine Suchraumeinschränkung, da nicht mehr nach Zahlen mit ps(z)=z, sondern "nur noch" nach Zahlen mit ps(z)=p(z) gesucht werden muss. Hat man eine solche Zahl z gefunden, ist ps(z) automatisch eine PS-Zahl. Beispiel: ps(94114)=14419, PS-Zahl wegen Ziffernpermutation.
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fireangel (fireangel)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juni, 2002 - 19:34:   Beitrag drucken

Hi,

ich stimme dir zu. Zumindest bei folgenden Punkten:
1.) 2stellige Summe. Zahlen mit mehr als 14 Stellen. Das können wir wohl abhaken.

2.) 10^12 ist 13stellig, da du bis dahin überprüft hast, nehme ich an, das es nicht einschliesslich ist, Damit könnte es noch 13 oder 14stellige PS Zahlen mit 2stelliger Summe geben.

3.) Die Abschätzung für 10^55 können wir als bewiesen betrachten. Es gibt definitiv keine PS Zahlen grösser als 10^55.

4.) Die Ausnahmen 21,22. Da war meine Argumentation selbstverständlich lückenhaft. Also:
Die Ausnahmen 21, 22, 32, 33, 43, 44 habe ich nur hinzugefügt, weil die Summe keine dementsprechenden Produktquersummen "fordern" kann. Heisst: 21*9 kann es nicht als Quersumme geben.
Natürlich kann ein 21stelliges Produkt ein soches mit einer Quersumme von 20*9 sein.
Dementsprechend sind auch die Ausnahmen 32 und 43 zu bewerten.

NUN ABER:
Die Ausnahmen 22, 33 und 44 können wir ausschliessen. Selbst ein Produkt mit einer Quersumme von jeweils (x-2)*9 kann diese Grössenordnung nicht erreichen, (x-1)*9 gibt es je auch nicht, also sind sie nicht zu erreichen.
Die Ausnahmen 34 sowie 45-48 sind aber zu halten, es gilt jeweils ps(n)<n , um in deinen Worten zu sprechen.

Zu den anderen Punkten, Fixpunktiteration und Permutation, äussere ich mich nach gründlicherer Untersuchung.

Fireangel
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sol@ti
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Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 12:54:   Beitrag drucken

Hi,

also bei den Punkten 1.) bis 3.) sind wir einer Meinung und auch sonst hat offenbar niemand Einwände vorzubringen. Erledigt.

Bei den Ausnahmen in Punkt 4.) habe ich noch kleine Verständnisschwierigkeiten:

a) Es ist mir klar, dass die Ziffernsumme des Produkts einer PS-Zahl mit dreistelliger Ziffernsumme die Form 9*(11*H+Z) haben muss, wobei H die Hunderter- und Z die Zehnerstelle der gesamten Ziffernsumme ist. Daraus ergeben sich die Ausnahmen 21,22,32,33,43,44.

b) Ziehst du nun bei einigen Ausnahmen folgenden Schluss (und wenn ja, bei welchen genau):
Ist x eine Ausnahme, so gibt es keine (x+3)-stelligen PS-Zahlen, weil dann für alle (x+3)-stelligen Zahlen z gilt: ps(z)<z.
Dieser Schluss ist für die Ausnahmen 21 und 22 sicher nicht zulässig.
Oder andersherum gefragt: Ist deine Argumentation in 4.) so zu interpretieren, dass du genau 37,48,49,50 und 51stellige PS-Zahlen ausschließt?

Warte schon gespannt auf das Ergebnis deiner gründlichen Untersuchung!

sol@ti
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fireangel (fireangel)
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Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 15:17:   Beitrag drucken

Hi,

da mischen sich zwei Prinzipien:
1.) Wenn für die maximale xStellige PS-Nahe Zahl z gilt: ps(z)<z, dann schliessen wir eine xStellige Zahl als PS Zahl aus. Dies gilt für z= 34, 45, 46, 47, 48 und alle grösser 55.
PS-Nah heisst, dass sie die Bedingung QS(Produkt)= 9(11H+Z) erfüllt ist.

2.) Wenn wir eine Produktquersumme nicht über 9*(11H+Z) erreichen können, kann es sie nicht bei einer PS-Zahl geben. Das gilt für 21, 22, 32, 33, 43, 44.

Zu meiner Schande muss ich zugeben, dass ich weder meine weitere Argumentation bezüglich von 22, 33, 44 nachvollziehen geschweige denn meine Behauptungen dazu halten kann.
Es bleibt also bei den genannten Punkten 1.) und 2.)

Dann hab ich mir mal die anderen Ideen zu Gemüte geführt:
Ziffernpermutation: Ich weiss nicht, wie das helfen soll. Eine Ziffernpermutation einer PS-Zahl ist auch nur dann als solche zu erkennen, wenn wir die PS-Zahl kennen. Ich wüsste jedenfalls (zumindest noch) nicht, wie uns das also hilft.

Iteration: Interessante Idee. Feststeht, das man jede PS-Zahl mit dem richtigen Startwert erreichen kann, 911 u.a. mit 119 oder mit 1113311. Ich habe alle Startwerte von 1 bis 50 durchgespielt und festgestellt, dass man damit nur 3612 oder aber Zyklen erreicht. Als ZyklusWerte sind mir bis jetzt bekannt: 8, 17, 18
Weitere Werte, die in diesen Zyklen enden, sind:
1,2,10,11,12,14,15,19,21,23,25,27,28,32,38,41,45,49,50

Alle anderen Werte bis 50 führen wie gesagt zu 3612.

Ob und ggf, wie das hilft, weiss ich noch nicht.

Mal sehen, was uns noch so einfällt.

Fireangel
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Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 17:49:   Beitrag drucken

Ich rechne gerade wie folgt weiter:

Die maximal mögliche PS-Zahl, die wir bis jetzt nicht ausschliessen konnten, hat 56 Stellen. Damit 53 Stellen Produkt, eine Produktquersumme (PQS) von 52*9 und eine Ziffernsumme von 480+E.
Ich betrachte die Zahlen jetzt nach PQS.
Eine 52er Zahl hat also PQS 52*9.
Für solch eine 52er Zahl würde gelten:
erste Anordnung: 52 Neunen. Dann hätte das Produkt 53 Stellen, falls E=8 oder 9 wäre, bei E=7 hat das Produkt zwar 52 Stellen, aber führend 935, also sind die 52 neunen nicht zu erreichen.
zweite Anordnung: nur eine einzige Neun würde "geteilt" werden. Dabei ergibt sich als kleinstmögliche Zahl 1899...48E mit 53stelligem Produkt. Das Maximale Ziffernprodukt ist aber 9^51*8*4*8*9. Das ist gleichzeitig das einzige 53stellige und beginnt mit 106.
dritte Anordnung: mehrere Neunen würden geteilt werden, dies würde minimal ein Produkt von 54 Stellen bedeuten, dessen maximales Ziffernprodukt(4*8*9*9^50*5^2*4^2) gerade 53 Stellen hätte.
Also gibt es keine dritte Anordnung.

Also können wir PQS 52 ausschliessen.

Wird zwar etwas mühsam, alle Fälle einzeln durchzuspielen, aber auch nicht mühsamer, als die ersten (und einzigen...:-)) PSZahlen per Hand zu berechnen...

Fireangel
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Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 18:09:   Beitrag drucken

Indem man betrachtet, wieviel Stellen das Maximalprodukt hat, wenn man verschiedene Anzahlen Neunen "teilt", so wie ich das einmal vorgerechnet hab, kann man folgendes zeigen:
Jede Zahl mit bestimmtem PQS kann nur begrenzte Anzahl von Stellen haben, wenn sie PS sein soll. Für die meisten hab ichs schon:
PQS : Stellen des Produktes
51 : 52
50 : 51
49 : 50
48 : 49
47 : 48
46 : 47
45 : 46
44,43 gibts nicht
42 : 43,44
41 : 42,43
40 : 41,42
39 : 40,41
38 : 39,40
37 : 38,39
36 : 37
35 : 36
34 : 35
33,32 gibts nicht

Die anderen folgen.

Fireangel
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fireangel (fireangel)
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Nummer des Beitrags: 106
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Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 18:20:   Beitrag drucken

SO:
bei allen PQS von 31-24 und von 17-12 sind es die nächsten beiden Stellenanzahlen.
Bei 23 ist es 24.
Und bei 20,19 und 18 sind es jeweils die nächsten drei Stellenanzahlen.
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fireangel (fireangel)
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Nummer des Beitrags: 107
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Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 19:56:   Beitrag drucken

widmen wir uns wieder den zweistelligen Summen:
PQS 8:
kann nach gleichem Prinzip nur 9,10 oder 11 Produktstellen haben, da wir alle PS-Zahlen bis einschliesslich 12 Stellen ausgeschlossen haben, kommt nur noch Produktstellenanzahl 11 in Frage.
Auf 11 Stellen 8*9 so zu verteilen, dass das Ziffernprodukt maximal wird, ergibt:
3^3*4*5*9^6 (*9*8, Summenziffern) das ist kleiner als die minimale Anordnung dieser Ziffern (führende 2). Reduzieren eine Ziffer auf 2, dann ergibt sich immer ein Produkt mit führender 1.
Reduzieren wir dei 2 auf eine 1, dann ergibt sich ein maximalprodukt mit führenden 122, das ist nicht mit den Ziffern hinzukriegen.
usw.

d.h. PQS 8 ist auszuschliessen.
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fireangel (fireangel)
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Nummer des Beitrags: 108
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Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 20:11:   Beitrag drucken

Ich muss mich leicht korrigieren:
Die maximale Ziffernprodukt kombination ist nicht 3^3*4*5*9^6 sondern 9^5*5^3*4^3, ändert aber nichts am Prinzip.
Die gleiche Argumentation gilt für PQS 9 und 12 Stellen. PQS 9 kann 10,11 oder 12 Stellen haben, bei der "manuellen" Einschränkung auf insgesamt 13 Stellen, bleibt 11 Stellen.
Bei 11 Stellen ist die MaximalZiffernProduktKombination 9^6*5^3*4^3. Wieder das gleiche Spiel, man macht das solange, bis das Produkt um eine Stelle geringer ist, als es sein dürfte.
Klappt in allen drei Fällen. Also sind alle zweistelligen PS-Zahlen gefunden.

Fireangel
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fireangel (fireangel)
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Nummer des Beitrags: 109
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Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 21:18:   Beitrag drucken

Nach dem gleichen Pinzip kann man sehr leicht für jede PQS die höchste Stellenanzahl ausschliessen:
Damit bleiben als Kombinationen über:
42-37, 31-24 mit der jeweils folgenden Stellenzahl
20 : 21,22
19 : 20,21
18 : 19,20
sowie 17-12 mit der jeweils folgenden Stellenanzahl.

Fireangel
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sol@ti
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Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 07:53:   Beitrag drucken

Hi Fireangel!

Na, da hab ich ja allerhand verpasst gestern Abend! Ich weiss gar nicht was ich mehr bewundern soll: deinen Scharfsinn oder deine Konsequenz und Ausdauer. Jedenfalls muss ich das jetzt erstmal alles gründlich verdauen und analysieren.

Bis später!
sol@ti
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fireangel (fireangel)
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Nummer des Beitrags: 110
Registriert: 10-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 10:41:   Beitrag drucken

Hi sol@ti,

danke für die Blumen. Was meinen Scharfsinn betrifft, will hoffen, das er hierfür ausreicht. Was meine Ausdauer betrifft, die reicht hierfür aus. Wenn ich mich einmal für sowas begeistert habe, dann lass ich nicht so schnell locker.
(Ich hab in der 11ten Klasse viermal den Versuch eines Beweises des Satzes von Fermat abgeliefert, den meine Mathelehrerin jeweils nur unter Zurhilfenahme von mehreren Kollegen wiederlegen konnte... Habs dann aber aufgegeben, als es ein anderer geschafft hatte.. :-))
Im Übrigen, lass dir Zeit mit dem Durchsehen, ich selbst würde wahrscheinlich nicht verstehen, was ich gemeint hab, wenn ich nur meine Beiträge hier lesen würde...

Bis bald,

Fireangel
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 11:26:   Beitrag drucken

Hi,

also deine Klassifizierung nach PQS ist eindeutig der Schlüssel zur Lösung!

1.) Für eine PS-Zahl z mit dreistelliger Ziffernsumme gelte: PQS=n=11H+Z (also S(P)=9*n) und P ist (n+1)-stellig. Dann ist z bis auf Ziffernpermutation gleich einer der Formen (a) bis (v):
(a) 1899999999...9HZE
(b) 2799999999...9HZE
(c) 2889999999...9HZE
(d) 3699999999...9HZE
(e) 3789999999...9HZE
(f) 3888999999...9HZE
(g) 4689999999...9HZE
(h) 4779999999...9HZE
(i) 4788999999...9HZE
(j) 4888899999...9HZE
(k) 6669999999...9HZE
(l) 6688899999...9HZE
(m) 6678999999...9HZE
(n) 6777999999...9HZE
(o) 6778899999...9HZE
(p) 6788889999...9HZE
(q) 6888888999...9HZE
(r) 7777899999...9HZE
(s) 7778889999...9HZE
(t) 7788888999...9HZE
(u) 7888888899...9HZE
(v) 8888888889...9HZE

wobei immer bis zur Stellenanzahl (n+1) mit '9' aufgefüllt wird. Die Einerstelle E>0 ist beliebig.

Beweis: Sei ak die Anzahl der Ziffer k im Produkt P. Dann gilt: 0 <= ak <= n+1
a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=n+1 (Stelligkeit)
1*a1+2*a2+3*a3+4*a4+5*a5+6*a6+7*a7+8*a8+9*a9=9*n (Ziffernsumme)

Daraus folgt:
8*a1+7*a2+6*a3+5*a4+4*a5+3*a6+2*a7+1*a8 = 9
unabhängig von n!

Diese Gleichung hat 29 Lösungen. Davon fallen aber alle weg, die sowohl Ziffer 5 als auch eine geradzahlige Ziffer enthalten (Produkt wird 0). Es bleiben die 22 Fälle (a) bis (v) über.

Für jedes n von 12 bis 42 können wir nun die 22 Fälle (und bei jedem Fall E=1,...,9) auf die Permutationsbedingung ps(z)=p(z) überprüfen. Wenn du keine bessere Idee hast - es sind auffällig viele 9er in den Zahlen! -, überlege ich mir ein entsprechendes Suchprogramm. Es bleiben dann nur noch die PQS mit (n+2) Stellen.

2.) Ich kann alle von dir ermittelten möglichen Stellenanzahlen bestätigen, ausser bei den Fällen 15, 16 und 17. Da gibt es die Zerlegungen z=18888888888999999149, z=188888888889999999159, z=1888888888899999999169; für diese gilt ps(z)>z. Wir müssen also für 15-20 zwei Stellen mehr auch zulassen. Das sind dann auch die verbleibenden Problemfälle. Mit dem selben Ansatz wie oben erhält man
8*a1+7*a2+6*a3+5*a4+4*a5+3*a6+2*a7+1*a8 = 18
mit immerhin 182 Lösungen (von denen sicher wieder einige wegfallen, wegen Produkt=0).

3.) Die Argumente zur Vollständigkeit der PS-Zahlen mit zweistelliger Ziffernsumme muss ich erst noch genau durcharbeiten.

Deine Idee hat uns in die Zielgerade geführt!
sol@ti
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fireangel (fireangel)
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Nummer des Beitrags: 111
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Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 12:22:   Beitrag drucken

Hi,

wenn ein Suchprogramm im Rahmen der Kapazitäten liegt (heisst: wenn dein Rechner das in annehmbarer Zeit durchläuft), dann denke ich, dass das eine durchaus akzeptable Lösung ist.
Im Moment weiss ich nichts besseres, man kann sich ja "schönere" Lösungen überlegen, wenn man erstmal bewiesen hat, das es keine Zahlen gibt.
Fireangel
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 15:25:   Beitrag drucken

Es ist vollbracht!

{911, 3612, 13519, 14419, 129626, 3499236, 13996843} ist die Menge aller PS-Zahlen.

Das Suchprogramm spuckte für PQS=1,...,55 (sicherheitshalber) und die Bedingung "P hat (PQS+1) oder (PQS+2) Stellen" (immer auch PQS+2, sicherheitshalber) genau die sechs bereits bekannten PS-Zahlen > 1000 aus (911 ist ja ein Sonderfall). Die Gleichung 8*a1+7*a2+6*a3+5*a4+4*a5+3*a6+2*a7+1*a8 = 18 hat übrigens 288 Lösungen (nicht 182 wie vorhin behauptet), aber das machte das Kraut auch nicht mehr fett. Die reine Rechenzeit betrug eine knappe Zehntelsekunde - das ist eben der Grund, warum die in der Komplexitätstheorie so eine Freude an O(log(N))-Algorithmen haben!

Und speziell an dich, Fireangel: Für mich war das die interessanteste und kurzweiligste, ja streckenweise direkt spannende, Diskussion seit langer Zeit.

Viele Grüße
sol@ti
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fireangel (fireangel)
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Nummer des Beitrags: 112
Registriert: 10-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 15:45:   Beitrag drucken

TATA!!

Sehr schön. Ich muss sagen, sol@ti, dass es mir ähnlich geht. Und vor allem hat dieses Problem endlich mal eine Lösung. Bei einigen anderen Aufgaben, die mich ähnlich intensiv beschäftigt haben, kam nur raus, dass ich es eben nicht lösen kann (siehe Satz des Fermat).
Ich danke dir für deine Unterstützung, vor allem für deine genaue Formulierung meiner verschwommenen Ideen. Hoffentlich gibt es noch eine Menge so interessanter Probleme zu lösen!
Ausserdem hoffe ich, dass ich dich hier noch öfter treffe. Würde mich freuen.
Bis dahin,
Gruss und CU,

Fireangel
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Kirk (kirk)
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Nummer des Beitrags: 91
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 17:35:   Beitrag drucken

Kompliment an euch beide. War wirklich faszinierend mitzuverfolgen, wie ihr das zusammen gelöst habt.
Diskussionen dieses Kalibers hat es hier wahrlich noch nicht oft gegeben.

Grüße,
Kirk

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