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bedrohte Tierart

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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 08:34:   Beitrag drucken

In der Abgeschiedenheit der kleinen Insel Integer-Island hat sich eine einzigartige Tierwelt entwickelt. Dort gibt es Primseln, die nur Primzahlen fressen, Teilerschweine, die sich von echten Faktoren ernähren, Fibonaccifalter, Quadratten und die buntgefiederten Kubenten.

Kubenten fischen Kubikzahlen aus den zahlreichen Seen. Die Unterfamilie der Tölpelkubenten hat sich immer mehr spezialisiert bis sie schließlich nur noch Zahlen verdauen konnten, die gleich der dritten Potenz ihrer Ziffernsumme sind. Die Bestände an Nullen und Einsen sind praktisch erschöpft, Forscher suchen fieberhaft nach anderen Nahrungsquellen für die Tölpelkubenten. Bitte helft mit, das Überleben dieser einzigartigen Tierart zu sichern.

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Martin (martin243)
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Benutzername: martin243

Nummer des Beitrags: 650
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 13:39:   Beitrag drucken

Hi sol@ti!

Ich finde, das ist ein sehr schönes Rätsel, vor allem super formuliert. Deine Idee?

Also ich behaupte, es gibt nur diese Zahlen, die die Bedingung erfülen:
0, 1 (klar, trivial),
512,
4913,
5832,
17576,
19683.


Wenn sich keiner meldet, werde ich den Beweis demnächst zeigen. (Wenn's denn stimmt...)

(Beitrag nachträglich am 21., Mai. 2002 von martin243 editiert)
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 14:04:   Beitrag drucken

Es gibt also doch nichttriviale Nahrung für die Tölpelkubenten (so benannt nach dem berühmten Zahlentierforscher Heinz I. Tölpel; der wissenschaftliche Name lautet lat. Anatinae cubus cifsummi), wenn auch in sehr beschränkter Anzahl!

Ich warte schon gespannt auf deinen Beweis - oder hat der etwa doch noch ein Schlupfloch?

P.S. Freut mich, dass dir meine Formulierung gefällt.
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Martin (martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: martin243

Nummer des Beitrags: 651
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 15:27:   Beitrag drucken

Ach, hattest du keine Lösung? Na so was! Dann will ich mal zeigen, was ich mir gedacht habe:

Zuerst einmal suche nicht die Kubikzahlen, sondern die dritten Wurzeln, deren 3. Potenzen diese Kubikzahlen ergeben.

Die 0 ist ein Sonderfall und erfüllt trivialerweise die Bedingungen.

Wir defnieren uns Folgendes:
Für jedes n€N ist Nn die Menge:
Nn = { x | 10n-1 <= x < 10n }
In Worten:
Nn ist die Menge aller n-stelligen Zahlen.

Dann wählen wir der Anschaulichkeit halber die folgende Schreibweise:
Für die Quersumme einer Zahl x schreiben wir qs(x) und für die dritte Potenz, also x3 schreiben wir cub(x).


Gesucht ist also eine natürliche Zahl (insbesondere ein Kubus) x, für die gilt:
qs( cub(x) ) = x

Jetzt will ich zeigen, dass ich die Wertemenge der zusammengesetzten Funktion qs(cub(x)) so einschränken kann, dass ich nur wenige Fälle betrachten muss (endlich viele).

Für jedes n>=1 wird die Menge Nn durch cub abgebildet auf die Menge
N3n-2 v N3n-1 v N3n (Vereinigung).

Jede dieser Vereinigungsmengen wiederum wird durch die Funktion qs abgebildet auf die Menge
{y | 0 < y <= 3n*9} (klar, weil die Zahl aus höchstens 3n Neunen bestehen kann)

Zusammen:
Jede Menge Nn (n>0) wird durch qs(cub(x)) abgebildet auf {y | 0 < y <= 3n*9}

Für einstellige Zahlen gilt also:
N1 ---> {1, 2, 3, ..., 27}
{1, 2, 3, ..., 27} geschnitten N1 = {1, ..., 9} also Lösungen möglich

Für zweistellige Zahlen gilt:
N2 ---> {1, 2, 3, ..., 54}
{1, 2, 3, ..., 54} geschnitten N2 = {10, ..., 54} also Lösungen möglich

Für dreistellige Zahlen gilt:
N3 --> {1, 2, 3, ..., 81}
{1, 2, 3, ..., 81} geschnitten N3 = { } also kann es keine x geben, die die Gleichung
x = qs(cub(x)) erfüllen, denn das linke x liegt in N3 und der Wert des rechten Terms in {1, ..., 81}

Für alle größeren n gilt das natürlich noch deutlicher, da die Anzahl der möglichen Quersummen nur linear steigt, während die kleinste Zahl aus Nn mit n exponentiell steigt.
(Kann man noch formal machen, aber ich glaube, da reicht.)




Also muss ich nur noch die Zahlen von 1 bis 54 abklappern und erhalte die Zahlen:
0, 1, 8, 17, 18, 26, 27,
deren Kuben die Bedingungen erfüllen.



So, ich hoffe, da waren keine Lücken in meiner Argumentation. Wenn doch, dann schreit!

MfG
Martin
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 17:05:   Beitrag drucken

Super, Martin! Lupenreine Argumentation. Ich sehe schon: du lässt dich nicht so leicht verunsichern - und das ist gut so.
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murray (murray)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: murray

Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 18:43:   Beitrag drucken

Hallo,

noch eine winzige Ergänzung von mir.
Ansich wäre ich nicht auf diese Lösung gekommen, aber beim Durchlesen ist mir aufgefallen, daß man sich einen Schritt etwas vereinfachen kann.

Zitat:
"Jede Menge Nn (n>0) wird durch qs(cub(x)) abgebildet auf {y | 0 < y <= 3n*9}"

Das heißt auch, gesucht ist demzufolge ein n <= AnzahlStellen(3n*9) - ich nehme hier einfach an, das es ein solches n gibt, da wir sonst unendlich viele Lösungen hätten.
Mathematisch gesehen kann man die Anzahl der Stellen ausdrücken durch aufrunden(log(x))

Daraus folgt, nach ein wenig Umstellung:

aufrunden(n - log(n)) <= aufrunden(log(27)) und das gilt nur für 0 < n < 3 (so richtig beweisen kann ich das aber auch nicht, leider :-)

Damit kommen nur die Zahlen 1 bis 54 in Frage.

Murray

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