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No Angel
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 08:19: | 
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Ein gegebenes Quadrat in vier Teilquadraten zu zerlegen, kann jeder. Schwieriger wird es schon, wenn die Anzahl der Teilquadrate größer sein soll. Es sollen nicht alle Teilquadrate einer Zerlegung untereinander gleich groß sein. Zwei der n Quadrate einer Zerlegung dürfen aber höchstens eine gemeinsame Seite haben, und alle Teilquadrate müssen das Ausgangsquadrat vollständig ausfüllen, d.h. man kann das Ausgangsquadrat in genau n Teilquadrate zerschneiden ...
a)
Kann man für ein Quadrat der Seitenlänge 12 cm eine Zerlegung in 6 Teilquadrate, danach in 7 bzw. 8 Teilquadraten angeben?
b)
Mario behauptet, dass für jede natürliche Zahl größer als 5 eine Zerlegung des Ausgangsquadrat in n Teilquadrate möglich ist. Kann man dies beweisen?
Danke für die Hilfe!!! |
Zaph (zaph)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: zaph
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 18:32: |
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Anlässlich des 23. Internationalen Mathematikerkongress 1998 in Berlin erschien diese Briefmarke mit der Zelegung eines Quadrats in 11 Teilquadrate.
Fundstelle: http://www.oliver-faulhaber.de/mathematik/marken_0.htm |
hd
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 07:51: |
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Man darf da zwei Dinge nicht vermischen: Bei der von Zaph gefundenen Briefmarke geht es um ganzzahlige Optimierung. Das ist härteste Zahlentheorie und selbst kleine Detailergebnisse werden auf Mathematischen Kongressen präsentiert.
Wenn Mario sagt "für jede natürliche Zahl größer als 5", dann ist offenbar eine Teilung mit nicht-ganzzahligen Seitenlänge gemeint - wobei aber bei Aufgabe a) "zufällig" eine ganzzahlige Teilung in 6,7 und 8 Teilquadrate möglich ist.
Den Beweis für die Zerlegbarkeit > 5 kann jeder selbst formal hinschreiben, nachdem er sich die Idee der folgenden Beispiele klargemacht hat:
(1) geradzahlige Zerlegung: zerteile das Einheitsquadrat (Seitenlänge = 1 Längeneinheit) in 18 Teilquadrate.
Zuerst schneidet man parallel zur Oberkante einen Streifen der Breite 1/9 ab. Diesen Streifen kann man dann klarerweise in 9 nebeneinanderliegende Quadrate mit Seitenlänge 1/9 zerteilen. Vom restlichen großen Rechteck schneidet man nun senkrecht einen Streifen der Breite 1/9 ab. Dieser kann dann in 8 Quadrate mit Seitenlänge 1/9 zerteilt werden. Vom Einheitsquadrat bleibt so ein Quadrat der Seitenlänge 8/9 übrig; insgesamt also 9 + 8 (kleine) + 1 (großes) = 18 Quadrate.
(2) ungeradzahlige Zerlegung: zerteile das Einheitsquadrat in 19 Teilquadrate.
Zerschneide das Einheitsquadrat zunächst in 4 Quadrate mit Seitenlänge 1/4. Drei dieser Quadrate zählen zur gesuchten Zerlegung, das Vierte kann nach Methode (1) in die fehlenden 16 Teilquadrate zerlegt werden !
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 978
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 16:04: |
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Hallo HD,
schöne Lösung!
Der Hauptunterschied von Briefmarke und Fragestellung ist aber m. E. nicht die Ganzzahligkeit (was soll ganz sein??), sondern die Besonderheit, dass die Teilquadrate auf der Briefmarke alle unterschiedliche Größe haben. |
hd
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 19:11: |
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Hallo Zaph,
am besten sieht man's vielleicht an Beispielen, was ich mit "ganzzahliger Zerlegung" meine:
(1) Ein 11 x 11 Quadrat soll in möglichst wenige Teilquadrate mit ganzzahligen Seitenlängen zerschnitten werden (natürlich Seitenlängen kleiner als 11).
(2) Zerschneide ein 14 x 14 Quadrat in Teilquadrate mit vorgegebenen Seitenlängen s. Und zwar:
6 mal s=1, 5 mal s=2, 4 mal s=3, 3 mal s=4, 2 mal s=5 und 1 mal s=6 ("aufsteigende Quadrate").
Diese Beispiele kann man noch durch scharfes Überlegen lösen (aber Vorsicht: is heissssss, Mann!).
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 981
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 23:15: |
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Hallo HD,
schon klar! Werde mir bei Gelegenheit die Quadrate aus Pappe ausschneiden und puzzeln :-)
Aber was hat die Briefmarke jetzt mit ganzzahligen Lösungen zu tun?
Im Übrigen glaube ich, dass, wenn ein Quadrat mit rationaler Seitenlänge in Teilquadrate zerlegt wird, die Teilquadrate ebenfalls rationale Seitenlängen haben müssen.
BTW: Was hat die Zusatzangabe in der Originalasufgabe von No Angel zu bedeuten, dass das Quadrat eine Seitenlänge von 12 cm hat? |
hd
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 13:03: |
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Hallo Zaph,
a) Die Briefmarke zeigt die Lösung für folgendes Problem: Zerlege ein Rechteck 177 x 176 (kein Quadrat!) in möglichst wenige paarweise verschieden große Teilquadrate mit ganzzahligen Seitenlängen. Diesen Aufgabentyp wollte ich mit meinem 11 x 11 Beipiel (1) andeuten.
b) Teilung einer rationalen Seitenlänge ist wieder rational - klar. Und dann kann man rückwärts ein ganzzahliges Problem draus machen (ich nehme das ist dein Hintergedanke). In meinem Beispiel: teile Einheitsquadrat in 18 Teile - aha, 1/9 ist die kleinste Einheit, also: Neue Aufgabe = zerteile ein 9 x 9 Quadrat ganzzahlig in 18 Teile. Das ist die holländische Methode ("van hinten") - aber so ist's nicht gemeint. Probier z.B. das 12 x 12 Quadrat von No Angels Aufgabe ganzzahlig in 10 und in 13 Teile zu zerlegen und vergleich den Aufwand für die Lösungen!
c) BTW: Das ist eben genau diese Vermischung, die ich meinte. Diese "12" ist nach der holländischen Methode nachträglich konstruiert.
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
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Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 17:35: |
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Hallo HD,
das auf der Briefmarke ist gar kein Quadrat? Schade!
Weißt du ob es für das folgende eine Lösung gibt?
Teile ein Quadrat in endlich viele paarweise verschiedene Teilquadrate.
Ich hatte vermutet, die Briefmarke stellt gerade hierfür eine Lösung parat. (Völlig unabhängig, ob die Kantenlänge ganzzahlig ist!)
Wieso ist es "klar", dass bei einer derartigen Lösung alle Seitenlängen rational sein müssen, wenn das Ausgangsquadrat rationale Seitenlängen hat? |
hd
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 19:18: |
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Hallo Zaph,
Du traust meiner Geschichte von der Briefmarke nicht ganz - gib's zu! Aber glaub mir: Ich kenn' Leute, die kennen Leute, die Leute kennen, die das ziemlich genau wissen; die verwendeten Quadrate haben übrigens die Seitenlängen 99,78,77,57,43,41,34,25,21,16 und 9.
Und das mit dem GANZZAHLIG bring ich einfach nicht richtig rüber - naja, egal.
Zu deiner Frage: JA, es gibt sogar unendlich viele Möglichkeiten (Skinner 1993). Die "einfachste" ist allerdings die Zerlegung des 110 x 110 Quadrats in paarweise verschiedene Teilquadrate mit ganzzahligen Seitenlängen. Die Zerlegung des 112 x 112 Quadrats in 21 paarweise verschiedene Teilquadrate hab ich lagernd, wenn's dich interessiert.
Und zum Schluß: es ist nicht "klar", dass die Teilung rational ist. Hab' ich schlampig formuliert - allein im Hinblick auf die "van hinten" Konstruktion einer ganzzahligen Teilung ist's "klar".
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Zaph (zaph)
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Benutzername: zaph
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Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 00:09: |
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Doch, natürlich glaube ich dir, dass es kein Quadrat ist. Beim obigen Briefmarken-Link steht übrigens auch "Rechteck" - aber ich dachte, das wäre ein Faux-pas des Seitenautors.
Nein, das mit dem "ganzzahlig" finde ich immer noch uninteressant.
Viel interessanter ist die Frage, ob ein Quadrat z. B. in 21 Teilquadrate zerlegbar ist. (Wieso war das nicht auf der Briefmarke?) Welche Anzahlen sind möglich? Was ist die kleinste Anzahl??
Weniger interessant (aber vielleicht bin ich da allein auf weiter Flur), ob ausgerechnet ein 112 x 112-Quadrat zerlegbar ist.
Dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt, sobald man eine hat, ist klar! |
hd
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 18:47: |
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Hallo Zaph,
Du findest die Frage, ob ein Quadrat in 21 verschiedene Teilquadrate zerlegbar ist interessant, aber die konstruktive Antwort auf diese Frage (ausgerechnet das 112-Quadrat) weniger interessant?
Gegenfrage zur Briefmarke: warum waren im Hintergrund viele Dezimalstellen von Pi und nicht von der Euler'schen Zahl abgedruckt?
Für die kleinste Anzahl gibt es obere Schranken (eben die 21 vom uninteressanten 112-Quadrat), für die Folge der möglichen Anzahlen ist kein Bildungsgesetz bekannt, man weiß aber dass es (abzählbar) unendlich viele Möglichkeiten gibt. Und so hatte ich auch das mit den "unendlich vielen" gemeint: Man kann jedes Quadrat auf unendlich viele verschiedene(!) Arten in paarweise verschiedene Teilquadrate zerlegen - das war, jedenfalls bis 1998, keineswegs "klar". |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 992
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 21:00: |
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Hallo hd,
ist vielleicht wirklich Geschmackssache, welche der folgenden Fragestellungen am interessantesten ist.
A) Gibt es eine Zerlegung eines 100 x 100-Quadrats in paarweise verschiedene Teilquadrate mit ganzzahligen Seitenlängen?
B) Gibt es eine Zerlegung eines Quadrats in 100 paarweise verschiedene Teilquadrate?
C) Gibt es eine Zerlegung eines 100 x 100-Quadrats in 100 paarweise verschiedene Teilquadrate mit ganzzahligen Seitenlängen?
Ich find halt B am interessantesten. A und C sind endliche Probleme, und du kannst sie mit genügend Rechenpower durchprobieren - B nicht! (Sehe ich zumindest auf Anhieb nicht, wie das gehen sollte.)
Zu den unendlich vielen Möglichkeiten: Wenn du ein Quadrat in 21 verschiedene Quadrate zerlegen kannst, dann auch in 41, 61, 81, u. s. w. Zerlege einfach das kleinste der 21 Quadrate in 21 Quadrate - schwupps hast du 41. Jetzt iterativ fortführen.
Ich vermute, das Ergebnis von 1998 bezieht sich in irgend einer Weise auf eine "reguläre Zerlegung", bei der meine Konstruktion nicht gestattet ist.
Was die Pis und die Parabeln auf der Briefmarke zu suchen haben, ist mir ein Rätsel. Wahrscheinlich die Idee eines durchgeknallten Designers, der meinte, diese Dinge mit Mathematik in Verbindung bringen zu müssen. Mich wundert, dass nicht auch noch ein Wurzel- und Integralzeichen drauf ist. |
No Angel
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 13:40: |
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Leider habe ich mit dem vielen Hin und Her, ob Briefmark ein Quadrat oder Rechteck leider immer noch nicht die Hilfe für mein Problem.
Schade, denn all meine eigenen Versuche scheiterten.
Wer Lust hat, könnte mir dringend helfen, sonst kann ich meine Arbeit morgen nicht abgeben.
Danke |
hd
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 14:52: |
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Ja, No Angel, entschuldige. In der ganzen Grundsatzdiskussion haben wir dein Problem ganz aus den Augen verloren. Ich hatte allerdings schon gehofft, dass du den Beweis für b) anhand meiner Beispiele (Fallunterscheidung gerades/ungerades n) allgemein formulieren kannst.
Hier die Teilungen für Frage a). Sie sind genau nach dem Muster für den allgemeinen Beweis erzeugt. Versuch das nachzuvollziehen und dann zu verallgemeinern - das schaffst du garantiert!
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