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Beitrag |
    
helmut (hoocker)
Neues Mitglied
Benutzername: hoocker
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 21:02: | 
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habe dies nette kleine aufgabe gefunden:
Die 3 ist schon eine besondere Zahl!
Zeige, dass sie die einzige Primzahl ist, die über sich eine Quadratzahl (Nachfolger) hat!
(ein BEWEIS wird verlangt!)
wie geht man an solche aufgabe heran, bzw. wie löst man so etwas ???
mfg hoocker
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Ikarus (thjalfi)
Mitglied
Benutzername: thjalfi
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 10:50: |
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hmm, soweit ich das überblicke sind alle anderen vorgänger einer quadratzahl ganzzahlige vielfache von 3.
der beweis bleit natürlich noch aus. |
Martin (martin243)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 94
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 11:17: |
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@Ikarus:
Wie meinst du das? Der Vorgaenger von 32=9 ist 8, also kein Vielfaches von 3.
@helmut:
Das ist simpler als ich gedacht hatte:
Sei p eine Primzahl.
Dann kann man p nur auf zwei (triviale) Weisen als Produkt darstellen, naemlich:
p = 1*p = p*1 (sonst waer's keine Primzahl)
Nun soll ihr Nachfolger ein Quadrat sein, also:
p + 1 = n2 mit n = natuerliche Zahl
umgeformt:
p = n2 - 1
= (n - 1)(n + 1)
Wir haben aber gesehen, dass es nur diese Darstellungen gibt:
p = 1*p = p*1
Damit also p wirklich eine Primzahl bleibt, muessen (n-1) und (n+1) die trivialen (und einzigen) Teiler 1 und p sein.
Also zwei Moeglichkeiten:
I)
(n+1)=1 und (n-1)=p
ergibt:
p = -1 ist keine Primzahl
II)
(n-1)=1 und (n+1)=p
ergibt:
n = 2 Þ p = 3
Die Loesung ist eindeutig, also gibt es nur dieses eine p=3 (weil es nur dieses eine n=2 mit n2=4=p+1 gibt).
P.S.
Warum gibt es auf dieser bloeden Uni-Tastatur keine Umlaute?! |
Ikarus (thjalfi)
Mitglied
Benutzername: thjalfi
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 18:38: |
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denk doch mal nach, is doch logisch ,dass das nur bei quadratzahlen funktioniert, deren basis selbst kein vielfaches von 3 ist.
ich dachte das wär klar. |
Martin (martin243)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 97
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 19:06: |
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@Ikarus:
Damit hast du aber auch nur 2/3 aller Quadrate erwischt.
Außerdem ist es klar:
Wenn n die Form n=3m+1 hat, dann gilt:
n²=(3m+1)² = 9m² + 6m + 1, also ist der Vorgänger durch 3 teilbar, nämlich: 3*(3m² + 2m)
Wenn n aber die Form n=3m+2 hat, dann gilt:
n²=(3m+2)² = 9m² + 12m + 4, also ist der Vorgänger wieder ein Vielfaches von 3, nämlich:
3*(3m² + 4m + 1).
Insofern ist es klar, dass das für alle Quadrate gilt, die nicht durch 9 teilbar sind. |
Peter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 19:12: |
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@ikarus:
Die Idee ist goldrichtig, finde ich.
Es sei n^2 eine beliebige Quadratzahl, dann ist der Vorgänger n^2-1=(n-1)(n+1)
3 Fälle sind möglich:
1.) n = 0 mod 3 => n=3k => n^2-1 ist teilbar durch (3k-1) und (3k+1), folglich nicht prim
2.) n = 1 mod 3 => n=3k+1 => n^2-1 ist teilbar durch 3k und (3k+2), , folglich nicht prim
3.) n= 2 mod 3 => n=3k+2 => n^2-1 ist teilbar durch (3k+1) und durch (3k+3), folglich nur prim im Falle k=0
=> es gibt nur eine Quadratzahl (nämlich 4), die eine Primzahl (nämlich 3) zum Vorgänger hat
=> es gibt nur die Primzahl 3, die eine Quadratzahl zum Nachfolger hat
Gruß
Peter |
murray (murray)
Junior Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 10:38: |
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Hallo,
Ich hab mir mal überlegt, wenn es hier nur um Primzahlen ginge, dann wäre das doch trivial :-)
Da alle Primzahlen > 2 ungerade sind und das Quadrat einer ungeraden Zahl wieder ungerade ist, womit der Vorgänger gerade und somit nicht Prim ist, kommt als Lösung nur 2^2 = 4 in Frage.
Woraus wiederum folgt das 3 der einzig mögliche Vorgänger eines Quadrates einer Primzahl ist.
Leider ging es hier aber um beliebige Zahlen und mein Ansatz das Problem in Primzahlen und teilbar Zahlen zu zerlegen war dann auf den zweiten Blick doch etwas komplizierter als die Lösung vom Peter.
Murray |
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