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Beitrag |
    
Romeo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 16:11: | 
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Ein Kreisausschnitt mit dem Radius R=10cm und dem Mittelpunktswinkel =60° ist ein Rechteck größten Inhalts einzubeschreiben.
Bestimmen Sie die Fläche.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. April, 2002 - 12:54: |
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Hi Romeo,
Der gegebene Kreissektor mit Radius R und Zentriwinkel
alpha = 60° beim Kreismittelpunkt M hat eine
Symmetrieachse s, welche durch M geht und alpha halbiert.
Diese Achse s wählen wir als x-Achse eines rechtwinkligen
Koordinatensystems (x,y) mit Nullpunkt O in M .
Die positive x-Achse schneidet den Kreisbogen des
Sektors in A; die Endpunkte des Bogens seien mit B und C
bezeichnet (B liegt im ersten Quadrant, C in vierten Quadrant).
Es genügt aus Symmetriegründen , dem im ersten
Quadrant liegenden halben Sektor (Zentriwinkel 30°)
ein Rechteck P1 P2 P3 P4 mit maximalem Flächeninhalt
einzubeschreiben.
Die Ecke P1 (x1/h) liegt auf dem Radius OB,
die Ecke P2 (x2/h) auf dem Kreisbogen BA
Die Ecken P3 (x1/0) und P4 (x2/0) liegen auf der x-Achse.
Beachte: P1 und P2 haben dieselbe y-Koordinate h,
welche die Rolle eines Parameters spielen wird.
Dabei variiert h im Intervall [0 , ½ R]
Empfehlung: Stelle die Situation in einer
massstäblichen Skizze dar mit
R = 10 , ½ alpha = 30°, h = 4.
Das rechte Intervallende h* = ½ R für h ergibt sich
als Abstand des Punktes B von der x-Achse:
h* = R sin 30° = ½ R
Berechnung der Seiten a , b des Rechtecks, wobei
a = P3 P4 = x2 - x1 und b = h gilt.
Für die Fläche Ades Rechtecks gilt dann A = a * b
1.
P1 liegt auf der Ursprungsgeraden g = OB
Gleichung von g : y = mx ,wobei für die Steigung
m = tan 30° = 1/ wurzel (3) einzusetzen ist.
Da P1(x1/h) auf g liegt, gilt
x1 = h / m = h * wurzel (3)...............................................(I)
2.
P2 (x2/h) liegt auf dem Kreisbogen k = BA
Gleichung von k : x^2 + y^2 = R^2,
Da P2 (x2/h) auf k liegt, kommt:
x2 = wurzel(R^2- h^2).....................................................(II)
3.
Mit (I) und (II) erhalten wir
a = x2 – x1 = wurzel (R^2- h^2) - h * wurzel (3) ;
mit b = h kommt für die Rechtecksfläche A:
A = a* b = h * wurzel (R^2- h^2) - h ^2* wurzel (3)...... (III)
Damit ist A als Funktion von h dargestellt.
Wir leiten A = A(h) mit der Summen-, Produkt- und
Kettenregel nach h ab; Resultat:
A´(h) =
wurzel (R^2-h^2)- h^2 / wurzel ( R^2-h^2) - 2 h wurzel(3)
Setzen wir diese Ableitung null, so entsteht nach einer
einfachen Rechnung eine Wurzelgleichung für h :
R^2 – 2 h^2 = 2 h wurzel(3) * wurzel ( R^2-h^2)
Durch quadrieren entsteht eine biquadratische Gleichung für h,
die in vereinfachter Form lautet:
16 h^4 – 16 R^2 h^2 + r^4 = 0 mit der einzigen brauchbaren
Lösung für h^2:
h^2 = ½ * R^2 – ¼* wurzel(3) * R^2
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Jetzt ist es Zeit, den gegebenen numerischen Wert R = 10
einzusetzen.
Wir erhalten der Reihe nach die Ergebnisse:
h ~ 2,588190
A max ~ 13,3974596
Um den maximalen Wert B der eingeschriebenen Rechtecksfläche
im Sektor mit dem Zentriwinkel 60° zu erhalten, ist A max zu
verdoppeln ; also gilt :
B ~ 26,795
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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hd
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 09:08: |
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Ich hab's so versucht: Ziehe über einem Schenkel eine Parallele im Abstand R/2. Die schneidet dann den Kreisbogen in einem Punkt A und den anderen Schenkel in einem Punkt B. Ergänze A, B zu einem Rechteck durch rechte Winkel zurück auf den parallelen Schenkel.
Für R=10 erhalte ich dann als Rechteckfläche ungefähr 28,8675. Nicht viel mehr als megamath, aber immerhin ... |
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