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Extremwertprobleme

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Romeo
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 16:04:   Beitrag drucken

Ein Kreisausschnitt mit dem Radius R=10cm und dem Mittelpunktswinkel =60° ist ein Rechteck größten Inhalts einzubeschreiben.
Bestimmen Sie die Fläche.
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whiskey
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 20. April, 2002 - 14:27:   Beitrag drucken

das müssten so um die 14.82997374 wenn ich mich nicht verrechnet habe...
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whiskey
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 20. April, 2002 - 14:31:   Beitrag drucken

ne sorry wenn dann das doppelte also etwa 29.65994747
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whiskey
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 20. April, 2002 - 15:03:   Beitrag drucken

erst mal überleg ich mir das ganze im koordinatensystem für die obere hälfte des rechtecks. der kreisausschnitt wird somit zu einer kreisgleichung und einer gleichung für eine gerade mit dem winkel 30°. (alles im ersten quadranten)

die funktion für den kreis ist
y = WURZEL(100 - z²)
mit dem definitionsbereich 0 <= z <= 10

die funktion für die gerade ist dann bei 30°:
y = ( 1/arctan(30) )x
mit dem definitionsbereich 0 <= x <= 10

wenn man für die geradenfunktion ein x wert einsetzt erhält man den zugehörigen y wert. nun ist von der kreisgleichung derjenige z wert auf der ersten achse gesucht dessen zugehörer y wert gerade genau der von der geradengleichung ist.

dazu setzte ich beide gleich und forme um nach z um. man erhält eine relativ lange formel für z:

2 WURZ[100-arctan(1/30)²-100*PI*arctan(1/30)-x²+25*PI²]
-----------------------------------------------------------
2 arctan(1/30) - PI

von diesem z wert muss nun der x wert abgezogen werden damit man den abstand der beiden punkte auf den graphen für ein bestimmtes x hat. dann muss das ganze noch mit der höhe, die ja gerade y, also (1/arctan(30))x ist malgenommen werden und man hat die flächenfunktion.

davon wird die ableitung berechnet (ist mir jetzt etwas zu lang zum hinschreiben) und gleich null gesetzt. man erhält einen wert von x=4.371896024 für die das maximum der flächenfunktion. diesen wert einsetzen ergibt bei mir:

14.82997374

dann mal 2, weil es sich ja nur um das halbe recheckt handelt... dann hab ich 29.65994747.

bin aber nich sicher überall, kann sein dass sich mal ein fehler eingeschlichen hat, oder dass es überhaupt viel einfacher geht... :-)


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WurzelPi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 20. April, 2002 - 16:00:   Beitrag drucken

also das mit der funktion für die gerade hab ich nich verstanden ...
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whiskey
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 20. April, 2002 - 16:23:   Beitrag drucken

hm ich glaub ich war da etwas zu voreilig, das kommt gar nich hin, da hast du auf jeden fall recht ...

es müsste glaub ich

y=[WURZEL(3)/3] x

für die geradengleichung stimmen...
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whiskey
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 20. April, 2002 - 16:34:   Beitrag drucken

die ganze sache wäre dann auch wesentlich angenehmer zu rechnen:

ich komme auf die funktion für die fläche

F=x*WURZEL(100-x²)-(WURZEL(3)*x²)/3

Ihr absolutes Maximum liegt bei 5, damit

ergibt sich eine Fläche von [50*WURZEL(3)]/3 Flächeneinheiten. (das ist etwa 28.8675)

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